998 109

108

bazie standardowej i w bazie wektorów własnych, zaś I* jest macierzą, przejścia z bazy pierwszej do drugiej. Tutaj

	-1 0 0'		0 12		-i 4 -r
D =	0 0 0	, p =	1 1 1	. P-^1 = i	0-4 2
	0 0 1.		2 3 2.	2	1 2 -1 .

a) Mamy

	’ 0	1	2'		-1	0	0 '	1 2	-1	4	-1 '		' 1	2	-1 '
A =	1	1	1		0	0	0		0	— 4	2	=	1	-1	0
	2	3	2 .		0	0	1.		1	2	-1 .		.2	-2	0 .

2 postaci macierzy A przekształcenia L łatwo wynika wzór Lego przekształcenia, mianowicie L{x. y, z) = (z + 2y — z, z — y, 2x — 2y).

b) Macierz 100-krotnego złożenia przekształcenia L wyraża się wzorem ^10° _ ^p_Dp-'y^co ₌ po^l00p-\

y4^10° =	0 12' 1 1 1		10 0 0 0 0	1 2	' -1 4 -1 0-4 2	=	'1 2 -1‘ 0 3-1
	.2 3 2.		-001.		1 2 -1 .		.0 G —2 _

7j zależności

wynika, że Z¹⁰⁰(l. 2, 3} = (2,3,6).

• Przykład 11.5

Znaleźć wartości i wektory własne podanych macierzy rzeczywistych

	4 1		b)	‘5-3		c)
a)	-2 1	1		3-1	^;
	'l 3	0‘		2 0	1'
d)	0 2 -	1	i e)	0 4	0	; 0
	0 0-	4		-5 0	-2

Rozwiązanie

Wartość własna A € R rzeczywistej macierzy A stopnia n jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego tej macierzy i wyznaczamy ją z warunku det(A - A/) = 0. Wektor

własny t> = (xi,i2.....in) € Rⁿ odpowiadający wartości własnej A jest niezerowym

rozwiązaniem jednorodnego układu równań

Jedenasty tydzień - przykłady ....    ,    ^1U9

a) Obliczmy najpierw wioloni.au charakterystyczny macierzy A. Mamy

del (/l - XI)

4 - A 1 -2    1 - A

= A²-5A + 6 = (A-2)(A-3).

Wielomian ten ma dwa rzeczywiste pierwiastki Ai = 2, Aj = 3, ktÓTe są wartościami własnymi macierzy A. Wektor własny ri = (x,y) odpowiadający wartości własnej Ai wyznaczamy z układu równań

(A - /Ai)

<=> y = —2x, z £ Ii.

Stąd tj = (z, -2z), gdzie z € R \ {0}. Podobnie znajdujemy wektor własny t'₂ = (x,y) odpowiadający wartości A₂:

z

y

y = —z, Z (E H

Zatem v₂ = (z,-z), gdzie z £ R \ {0). Przestrzenie wektorów własnych są więc następujące:

W₂ = lin <(1,-2)) dla Aj = 2 oraz W) = lin {(1,-1)} dla A₂ =3.

b) Tutaj

A⁵ -4A + 4 = (A-2)*.

det i A - A/)

5-A -3

3    -1 - A

Liczba A = 2 jest jedyną wartością własną |o krotności 2) macierzy A. Rozwiązujemy układ równań

(A — /X)

3 -3 3 -3

z, gdzie z ER.

i otrzymujemy wektor własny v = (z,z), z £ J?\{0} oraz przestrzeń wektorów własnych

W₂ = lin {(1,1)}.

c) W tym przykładzie

= A² + l-

det (A — A/) =

2- A 1 -5    -2 - A

Wielomian charakterystyczny nie ma pierwiastków rzeczywistych cc oznacza, żc macierz A nie ma rzeczywistych wartości własnych,

d) Mamy

1 - A 3    0

= (A-])(2-A)(A + 4).

det (A - XI) =

0    2 — A -1

0    0    -4 - A

Liczby A_t = -4, A₂ = 1, A₃ = 2 są trzema wartościami własnymi macierzy A. Odpowi-dające im wektory własne v., v₂, v₃ postaci (z,y,z) znajdziemy rozwiązując poniższe