CCF20090522000

GRUPY PUNKTOWE

Iloczyn dwóch operacji symetrii daje trzecią operację symetrii. Zawsze gdy są dane dwie operacje symetrii można zastąpić je trzecią operacją symetrii

-» Operacje symetrii (przekształcenia) występować będą w zespołach zwanych grupami.

Każdej operacji symetrii przypisuje się element symetrii

-» Obecność dwóch elementów symetrii implikuje obecność trzeciego elementu symetrii.

7. ARyberczyk-Pirck    1

Podstawy teorii grup

Grupa - zbiór elementów {Z}= {z_lt ^ z₃,...} dla którego określone jest działanie ( o ) i spełnione są 4 postulaty grupowe:

1-    postulat przyporządkowania ^ Z, °Z, =Z₃; Z₃ € {Z}

z,;z,e{Z}

2-    postulat łączności    /\ Zj °(z₂ °Z₃) = (z, °Z₂)oZ₃

z, ;z,;z₃€(Z}

3-    postulat elementu neutralnego V A e°Z—Z°Q—Z

(jednostkowego)    ^ee{Z} ze{Z}

a w z o z' = e

4-    postulat elementu odwrotnego    _z-'e{z\

Rząd grupy - odpowiada liczbie elementów tworzących grupę. Mogą istnieć grupy nieskończonego rzędu

7. .-V Rybarczyk-Pirek    2

Grupa przemienna (Abelowa) - grupa w której działanie jest przemienne A Zioz2=Z2oz, ^zi; ^z2^€ (z)		Najmniejsza z możliwych liczba naturalna n = {1; 2; 3;....} spełniająca warunek
Grupa cykliczna - grupa, której wszystkie elementy można wyprowadzić poprzez wielokrotne działanie na jednym elemencie		z^n=e nazywa się rzędem elementu z.
A Zi=Z1oz1oz1o....oz1=zJ z, ;z,e{Z} v-v--z i		Jeżeli element z nie posiada takiej liczby to nazywa się elementem nieskończonego rzędu
Grupy cykliczne są zawsze przemienne Generator grupy (zbiór tworzący grupy) - najmniejszy możliwy zbiór elementów, z którego poprzez działanie grupowe można wyprowadzić wszystkie pozostałe elementy danej grupy -utworzyć pełną grupę. Zbiór tworzący grupy cyklicznej jest jednoelementowy.
7. ARyborezyk-Pirek 3		7. A Rybarczyk-Pirek 4

Przykładowe grupy

Zbiór liczb całkowitych: C={...-2,-l,0,l>2,...} oraz działanie dodawanie

1)    postulat przyporządkowania - dodawanie dwóch liczb całkowitych da w wyniku zawsze liczbę całkowitą

2)    postulat łączności - przy dodawaniu trzech liczb nie ma znaczenia kolejność wykonania operacji (dodawanie spełnia postulat łączności)

3)    postulat elementu neutralnego - dla operacji dodawania elementem jednostkowym jest 0, ponieważ dodanie 0 do dowolnej liczby nie zmienia ostatecznego wyniku

4)    postulat elementu odwrotnego - elementem odwrotnej każdej liczby całkowitej jest liczba przeciwnego znaku ponieważ ich suma daje w wyniku element jednostkowy

Jest to grupa nieskończonego rzędu, przemienna, niecykliczna; zbiorem tworzącym jest {-1; 1}

7. A. Rybarczyk-Pirek    5

Zbiór {1,-1, i,-i} ( i=-v/—l ) oraz działanie mnożenie

1)    postulat przyporządkowania - można sprawdzić wykonując tabelę działania grupowego

2)    postulat łączności - przy mnożeniu trzech liczb nie ma znaczenia kolejność wykonania operacji (mnożenie spełnia postulat łączności)

3)    postulat elementu neutralnego - dla operacji mnożenia elementem jednostkowym jest 1, ponieważ mnożenie przez 1 dowolnej liczby nie zmienia ostatecznego wyniku

4)    postulat elementu odw rotnego - element odwrotny dla każdego elementu grupy można łatwo zdefiniować na postawie tabeli grupowej (należy sprawdzić kiedy w wyniku działania otrzymuje się element jednostkowy)

•	i	-i	i -i
1	i	-i	i	-i
-1	-i	i	-i	i
i	i	-i	-i	i
-i	-i	i	i	-i

Jest to grupa 4-go rzędu, przemienna, cykliczna; zbiorem tworzącym jest {i}

Uwaga: proszą sprawdzić to samodzielnie!

7. A. Rybarczyk-Pirek

6

1