CCF20090522004

5. Grupy punktowe główna osia obrotu, prostopadła do niej płaszczyzna symetrii, i równoległymi do niej płaszczyznami symetrii X + m ±+ m 11

X 0 m 11 ® m_± => mmm (2/m 2/m 2/m); 4/mmm;

6/mmm; 3/mm(=6m2)

Według przyjętej nomenklatury nie ma grupy punktowej 3/m - odpowiada jej grupa 6 analogicznie odpowiednikiem grupy 3/mm jest grupa 6m2

W grupach typu n/mmm występuje główna oś obrotu oraz płaszczyzny symetrii:

prostopadła do głównej osi obrotu równoległe do osi głównej obrotu Na przecięciu prostopadłych płaszczyzn symetrii generują się osie dwukrotne (analogicznie jak w grupie mm2)

Osie dwukrotne są prostopadłe do głównej osi obrotu

7. A- Rybarczyk-Pirek    25

Grupa punktowa o symbolu: mmm zbiór tworzący => {m*; ny mj lub {2_Z; nr,; mj oś główna (dwukrotna np. 2_Z) płaszczyzna symetrii m₂ prostopadła to tej osi, a płaszczyzna symetrii m* jest równoległa do tej osi

Na podstawie podanego zbioru tworzącego i znajomości reguł łączenia operacji symetrii można wyprowadzić wszystkie elementy grupy

{trij^ my, rr^, 2_X, 2y, 2_Z, 1,1}

Jest to grupa:

>    8-mio elementowa (rząd grupy 8)

>    niecykliczna

>    abelowa

W grupie mmm występują trzy osie dwukrotne, a żadna z nich nie jest uprzywilejowana jako oś główna: dlatego nie stosuje się zapisu podobnego do innych grup (2/mmm) lecz taki który podkreśla brak uprzywilejowania jakiejś osi (2/m 2/m 2/m) lub prostszy oddający zbiór tworzący grupy (mmm)

7. A-Rybarczyk-Pirck

26

W grupach typu n/mmm występuje jedna płaszczyzna symetrii prostopadła do osi głównej, n płaszczyzn symetrii równoległych do osi głównej przecinających się ze sobą wzdłuż osi głównej pod kątem 360°/2n lub jego wielokrotnością, oraz n osi dwukrotnych prostopadłych do osi głównej przecinających się ze sobą pod kątem 360°/2n lub jego wielokrotnością. We wszystkich tego typu grupach występuje również środek symetrii

mmm    4/mmm    6/mmm

Zadanie-proszę rozrysować rozmieszczenie punktów symetrycznych w podanych grupach punktowych, wskazać grupy przemienne i nieprzemienne

7. A Rybarczyk-Pirek    27

Rozmieszczenie elementów symetrii w wybranych grupach punktowych

4 grupy regularne: 23, m 3,

432, m3 m

6. Grupy punktowe w których występuje kombinacja osi inwersyjnei z innymi elementami symetrii^

42m,    3m,    6m2 (= — m)

m

Środek symetrii generuje się tylko w grupach gdzie występuje nieparzystokrotna oś inwersyjna (3)

Zadanie- proszę rozrysować rozmieszczenie punktów symetrycznych w podanych grupach punktowych

Istnieją również trzy grupy punktowe, w których występuje więcej niż jedna inwersyjna: m3; 43m; m3m

Są to tzw. grupy regularne, opisujące symetrię wielościanów regularnych

7. ARyberczyk-Pirek    28

Kierunki w symbolice grup punktowych

Symbolika grup punktowych Hermanna-Mauguin’a (symbolika krystalograficzna) składa się z trzech pozycji, każdej z nich przypisuje się określony kierunek > brak kierunku wyróżnionego - pozycje dotyczą kolejno kierunków X, Y, Z np. 222 (2x 2y 2z); mm2 (mx my 2z)

>istnieje kierunek wyróżniony zgodną z osią o najwyższej krotności -

podaje się go na pierwszej pozycji, następnie kierunek X , oraz kierunek przekątnej między osiami X i Y : [110] np.

2 (2y ); 4mm (4z mx m₁₁₀); 32 (3z 2x);    -6m2 (-6z mx 2_lł0)

>brak elementu symetrii związanego z danym kierunkiem - pozostaje puste pole (lub przynajmniej 1) np.

2/m (1 2y/my 1); 4 (4z 1 1); 23 (2x 3_in 1); 1; -1

>w grupach regularnych kolejne pozycje dotyczą odpowiednio:

X (Y i Z); [111] (przekątna układu) oraz [110] (przekątna między osiami X i Y) np. 432 (4_X 3,„ 2₁₁₀);    m-3m (m_x - 3_U1 m₁₁₀)

7. ARybarczyk-Pirek    30

5