IM13

Całki funkci elementarnych:

r ^ x^{a 1}

/X-* _=iTT

fdx , , ,

Jt ^=ln^

/e^xdx = e^x

^;axd>: =i^

n+1

afn+fj^-

/(aK+b)"* = ¹f^ /cosxdx = sinx /sinxdx = -cosx /tgxdx = -ln(cosx) /ctgxdx = ln(sinx) f dx

J sin²x f dx

) C0S²X

= -ctgx

= tgx

f dx 1 , .

I^Tb =a ^ln<^ax+tl)

dx

Jx²+1

f dx J x² +a² f dx Jx²-a² ' f dx J a²-x² ' f dx    .

J V1-X² r dx

J V1 +X²

r dx    .

J \iX²-1 r dx J \i'x²-a² f dx J \i'x² +a f dx

J Va²-x²

= arctgx 1    . x

=i ^arctsi

1 , ,x-a, ' 2a ⁿb+al

1 , ,a+x, ' 2a ⁿU-x^

= ln(xWx²+1

^: ln(x+\^T

= ln(x+Vx²-a² = ln(x-p'-./x²⁺a

. x

^: arcsin-

jV(a²-x²) jV(x²+a) = |

x j. , a^A . x = 2 v(a²-x²) +yarcsin-

■,/(x²+a) + ^ ln|x+V(x²+a) |

Całkowanie przez części

/udv = uv-/vdu

Przeliczenia trygonometryczne

sin²x = 1/2(1-cos2x)

cos²x= 1/2(1+cos2x)

sinxcosx = l/2(sin2x)

sinaxcosbx = 1/2[sin(a+b)x+sin(a-b)x]

sinaxsinbx = 1/2[cos(a-b)x-cos(a+b)x]

cosaxcosbx = 1/2[cos(a+b)x+cos(a-b)x]

Sprowadź całek tryg do całek wymirnych

2tg^x    1-tg²^x 2tg^x

sinx=-y cosx=-y tgx=-y

1 +tg²^x    1+tg²^x    1 -tg²^x

gdy : tg^x=t x=2arctg dx= jyy wtedy: 2t    1-t² .    2t

³inx=Y^p COSY,=y-p m=yy

Długość łuku f(x) w przędz. <a;b>

b

L=/Vl+(f'(x))²dx

a

Długość łuku w postaci parametrycznej gdy

x=g(t),y=h(t),t₁ <t<k

t2

L=/V(g'(t))²+(h'(t))²dt

t1

Dł łuku w postaci współrzędnych biegunowych:

r=f(6); o^e<p

P

L=JVr²+f(0)²de

a

Objęt bryły obrotowej

y=f(x); <a;b>

b

V=7i/y²dx

a

t2

f dx

V=ti I ^y2dt^{dt {parametr}}

ti

Pole pow. bryły obr.

S=27t/ydL=27t/yAy 1 +|^|² dx

S=27r/ydL=27rjy\te²+|% dt {parametr} A    ti ^v

Obliczanie pól gdy:

P=;|y|dx=;|h(t)|g'(t)dt {parametrycznie}

1 (i    1 p

P=2 f r² d0=2 f (f(0))²d0 {wsp. bieguncwe}