Matematyka 2 91

390 V Elementy rachunku pruticJnpnJohień.slwu

=E[XY-XEY-YEX+(EX)(EY)J=

= E(XY) -(EX)( EY) — (EY)( EX) + (EX)( EY) = E( XY) -(EX)( EY). Ad. C3. cov(flX+c,bY+d) =

= EI((aWc)-E(aX+c)) ((bY+d)-E(bY+d))]=

= E[(aX—aEX)(bY—bEY)J=abEj(X- EX)(y- EY)]= =abcov(X.Y).

Co mierzy, co charakteryzuje kowariancja cov(X.Y)7 Celem odpowiedzi przeanalizujmy pierwszy wzór (7.25) określający cov(X.Y) w przypadku dyskretnym. Iloczyny (x,-EX)(y₁-EY) są dodatnie, jeśli

obydwa czynniki mają ten sam znak. tj gdy równocześnie x₍ i y_J są duże i równocześnie x,i \_i są małe. Oczywiście na wartość kowariancji mają wpływ również pr-stwą p . Zatem: I) gdy cov(X.Yj jest duża t dodatnia

(w sumie (7.25) składniki dodatnie ‘'przeważyły"składniki ujemne), to AL X i Y mają tendencję równoczesnego przyjmowania wartości dużych i równocześnie przyjmowania wartości małych oraz 2) gdy COv(X,Y) jest ujemna ale duża co do wartości bezwzględnej fw sumie (7.25) składniki ujemne przeważy ły składniki dodatnie), to każda ze zmiennych X i Y ma tendencję przyjmowania wartości dużych, gdy druga przyjmuje wartości małe.

Godny uwagi jest przypadek, gdy cov(X,Y) = U Mówimy, że ZL X i Y są nicskorclowanc, gd> ich kow ariancja jest rów na zeru (7.26)    cov(X,Y)=0.

Dla nieskorelowanych ZL z reguły nie występują tendencje, o których mówiliśmy wyżej.

Gdy eovlX.Y)*0. to mówimy, że ZL X i Y są skorelowane; przy tym, jeśli cov(X,Y)>0 (cov(X.Y)<0), to mówimy, że ZL X i Y są skorelowane dodatnio (ujemnie).

TWIERDZENIE 7.7 Niech 7.L X i Y mają momenty rzędu drugiego. Wówczas: jeśli ZL X i Y są niezależne, lo są one meskorelowane. D o w o d . Zgodnie z własnością C'l kowariancji otrzymujemy: eov(X,Y)=E.(XY)-EX EY.

Dla niezależnych ZL E(XY) = (EX) (EY). Zatem cov(X,Y)=0 i tym samym ZL X, Y są meskorelowane.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia 7.7 jest fałszywe: nieskore-Jowane ZL mogą być (stochastycznie) zależne a nawet funkcyjnie zależne

PRZYKŁAD 7.11. ZLC X ma CiP postaci:

fl-|x| dla -l<x< jO dla x<-l v x> I

Niech Y - X*. Obliczymy cov(X.Y) korzystając z własności Cl. Należy wice obliczyć EX, FY. E(XY):

i    i

HX = jx(l-|x|)dx = 0. F(XY)= E(XX²)= EX ’ = Jx^J(Hx|)dx = U.

I    -t

Zatem

cov(X.Y) = 0-0FY = 0

ZL X. 'i są więc tu nieskorelowane mimo. że su funkcyjnie zależne.

\V'S POŁCZYN NI K KOR F LACJ1

Mimo, że |cov(X.Y)|£a_Na_y. to jednak nic istnieje stała C taka.

ze dla każdej pary ZL X. Y |eov(X,Y)J<C Jest to pewną wadą kowariancji. ponieważ utrudnia ocenę ze względu na wielkość konkretnej obliczonej kowariancji. Wady tei nie ma inna charakterystyka pary ZL X. Y -charakteryzująca je "pod tym samym kątem" co kowariancja - współczynnik korelacji.

Współczynnikiem korelacji ZL X, Y, mających różne od zera odchylenie standardowe ct_x ia_v, nazywamy liczbę p_XN (krócej, p) o-kreśloną wzorem;

= cov(XV)

^aX°Y

P\Y

17.27)

Jeśli ct_x*0 i <r_v*0, to:

11 ZL X, Y są nieskorelowane wtedy i tylko w tedy. gdy p_{x v} = 0.

2)    7.L X.Y są skorelowane dodatnio wtedy i tylko wtedy. gdyp_{x v} >0.

3)    ZL X.Y są skorelowane ujemnie wtedy i tylko wtedy, gdy p^y <0.

Bezpośrednio z definicji (7.27) i własności kowariancji wynika prawdziwość następującego twierdzenia.