Matematyka 2 95

3y4 V. Elementy rachunku pruwdajuHłobieńsnw

cov( X. V) = E(XY) - EX • FY =    = 0,04.

b) EX²= jx²x³dx =y, VarX = |-(^j^)^: =p^, o

EY^:= |y²-y(2-y²)dy=|_> VarY = |-(^)² =^.

cov(X,Y) 8 Syfi 15 A „ ...

^p---^r-225 —■ thttjt⁰-⁴⁹

PROSTE REGRESJI DRUGIEGO RODZAJU Rozważamy WL (X.Y). Podobnie jak w omówionym już temacie linii regresji pierwszego rodzaju, chcemy aproksymowae (przybliżać) wartości 7.1 Y za pomocą wartości ZL X przyjmując Y=s(p(X). Jednak tym razem optymalnej funkcji ip. tj. funkcji ip minimalizującej wyrażenie E|Y-<p(X)]², poszukujemy me wśród wszystkich funkcji, lecz tylko wśród funkcji liniowych funkcja tp ma być postaci tp(x) = ax + |L Prostą

y = ax + p

o tak dobranych parametrach a i [3, aby wyrażenie

E[Y-(aX + p)J^I.

traktowane jako funkcja parametrów a 1 p, osiągało wartość najmniejszą, nazywa się prostą regresji drugiego rodzaju ZI. Y względem ZL

X (krócej: prostą regresji Y|X ).

TWIERDZENIE 7.9. Jeśli istnieją cov(X,Y)Hp,, i \ar\~cr:=0. to prosta regresji drugiego rodzaju ZL Y względem ZL X (krócej: Y|X) jest postaci:

(7.28)    y - m _Y = ^ (x-m_A), gdzie m_x = EX, m_v - EY.

<*x

Analogicznie definiuje się prostą regresji drugiego rodzaju ZL X względem ZL. Y (krócej: prostą regresji X|Y). Jej równanie - analogiczne do równania (7.28) - jest postaci

(7.29)    x-m_x =^-y(y-m_y).

^CT>

PRZYKŁAD 7.14. Wyznaczymy równania obu prostych regresji drugiego rzędu dla danych z przykładu 7.13 korzystając z wykonanych tam już obliczeń.

Prosta regresji Y|X, zgodnie z (7.28), jest postaci:

^y_t=W^<X_3⁾- ^{CZ> y=}5^X+I'

Podobnie prosta regresji X|Y. zgodnie z (7.29), ma równanie:

*-^<y-n. ^czyii ^x=rjy*    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

I Dana jest funkcja pr-stwa wektora losowego (X.Y)

\^x'	-10	0	10
0	0,10	0,15	0,20
10	0.15	0.25	0,15

a)    Obliczyć pr-stwa- p, = P(X<IO.Y< 10). p_: = P(X<I0.Y< 10), p, = P(X< I0.Y >0), p₄=P(X<IO), p_s = (X>-10),

_Pfł= P(-10< X< 10,0< Y< 10). p- = P(0<X<20.-20< Y< 10). p₈ = p₍ X —0.Y = 0) _f p., = P(X = 0.Y =5).

b)    Wyznaczyć brzegowe funkcje pr-stw a p, i p oraz brzegowe dystrybuanly.

c)    Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję 7.1. X i Zl Y

d)    Rozstrzygnąć, czy ZL X. A’ są niezależne

e)    Wyznaczyć warunkową funkcję pr-stwa, warunkową dyslrybuan-tę, warunkową wartość oczekiwaną i warunkową wariancje ZL X przy warunku, że ZL A przyjęła wartość zero.

0 Wyznaczyć kowariancję i współczynnik korelacji ZL X. Y. g) Wyznaczyć obie linie regresji pierwszego rodzaju, li) Wyznaczyć ohie proste regresji drugiego rodzaju.