img032

32

2.3* W dwuwymiarowej płaszczyźnie eukliaesowej narysować .zbiór okreś-

loności (dziedzinę) funkcji R² 3x₂) —*• arcain ~ .

JL

2*4. Jeśli funkcje f:RDZ—*R ma tę własność, że

V A lf(x) - f(y) U l|x-_y I

Ltfi x,y e ACZ

41

to mówimy, źe f spełnia warunek Ljpschltze w zbiorze A-. Jaka jest interpretacja geometryczna tęgi warunku? Czy funkcja x — sin 2x spełnia warunek Llpschltza rr zbiorze R?

2.5. Przeprowadzono rastępjjęce rozumowanie* (< O, > ,d_k) J«»t

1 2

przestrzenią zupełnę; odwzorowanie F:<0,^> 3x-*»x -i jest w zbiorze zwężające. bo | {-x²-i> - (-y²-l) { * (x«-y) ] x-y I 6 j |x-y|; zgod-nie z twierdzeniem Banacha is;nieje ae<-0,^> takie, że e » -a - i. Otrzymaliśmy fałsz, bo x / -x² - i dla każdego xcR. Gdzie tkwi błęd?

Zadania

2.1. Niech

Iarctg x dla x c R, ly dli

- 2 dla x - - oo_v

Pokazać, źe w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych funkcja określona wzorem

d(x,y) • lf(x) - f(y)» t x,y s R Jest metrykę.

2.2. Pokazać, że zbiór 2 «* (-1,1) CR z metrykę d(x,y) ■ lx*-yt nie jest przestrzenię zupełnę.

2.3. Narysować dziedzinę następujących funkcji:

i

f(x-.y)

2 2

x ♦y

-^—w

2x-x -y^ż

Rudolf Llpschltz ;1*ł V 1832 - 7 X 1903/ - matematyk niemiecki, zajmował się różnymi działami analizy, teorią liczb, mechaniką i fizyką, równaniami różniczkowymi i geometrią wielowymiarową.