img051

51

Rozdział 4. Nieliniowe nieci neuronowe

<p(e) i, 1

e

Taka postać ma sporo wad, od niej jednak zaczniemy dyskusję, gdyż przy tej postaci funkcji najłatwiej jest wprowadzić pewne intuicje przydatne potem przy dyskusji wszelkich nieliniowych sieci neuronowych. Zacznijmy od odnotowania najbardziej naturalnego faktu: ponieważ sygnał wyjściowy perceptronu przyjmuje dyskretne wartości (y = Huby = 0), przeto może być rozważany w kategoriach określonej decyzji (na przykład — obiekt należy do rozpoznawanej klasy lub obiekt do niej nie należy). Możliwa jest także interpretacja oparta na logice matematycznej — sygnał y = 1 można wówczas interpretować jako ,,prawda”, a sygnał y = 0 jako ,.fałsz”. Przy pierwszej interpretacji perceptron może być traktowany jako układ dokonujący pewnego podziału wejściowego zbioru sygnałów X na dwie klasy: klasę wyróżnioną (dla której y = 1) oraz klasę odrzuconą. Przy drugiej interpretacji perceptron może być rozpatrywany jako układ realizujący pewną funkcję logiczną, a więc automat skończony. Druga interpretacja jest. wcześniejsza, w istocie pierwsze prace dotyczące sieci neuronowych MeCullor.lia i Pittsn [McCu43] taką właśnie proponowały interpretację, a rozwijana na gruncie logiki matematycznej teoria funkcji progowych stanowi dla tego podejścia wygodny fundament matematyczny. Obszerniejsze informacje na ten temat zawarto w książce [TadefHa].

4.2 Właściwości nieliniowego modelu neuronu

Z dyskretnymi wartościami sygnału wyjściowego z nieliniowego modelu neuronu wiąże się następujące zagadnienie. Zależnie od postaci przyjętej funkcji *j(c) sygnał y można rozpatrywać jako binarny y £ {0,1} lub bipolarny y € {-1,1). Na pozór jest to różnica mało istotna, gdyż za pomocą trywialnego przeskakiwania można oczywiście swobodnie przejść od jednej postaci sygnału do drugiej. Jednak w rzeczywistości różnica może być dość istotna, ponieważ punkty należące do zbioru {0,1} są wierzchołkami jednostkowego hipersześcianu w •£", natomiast punkty należące do zbioru {-I, 1} leżą na powierzchni jednostkowej sfery w 7iⁿ. Intuicja wywodząca się z dwu- i trójwymiarowej przestrzeni podpowiada, że sfera jest podobna do sześcianu, oto sfera może być porównana z sześcianem o zaokrąglonych wierzchołkach. Tymczasem w w-wymiarowej przestrzeni sfera i sześcian różnią się w sposób zasadniczy, o czym można się przekonać porównując na przykład objętość kuli o promieniu r z objętością sześcianu o boku /. Objętość sześcianu wynosi oczywiście V_s = lⁿ, natomiast objętość kuli wyraża się bardziej skomplikowaną formula:

gdy tj jest parzyste