img055

55

natomiast złożenie F z funkcjami    i nie istnieje 'nie jest

określone) dla każdej liczby rzeczywistej.

Przykład ten wskazuje iż rozważając składanie funkcji należy zawsze zwracać uwagę na ich kolejność.

2. Mówięc mniej precyzyjnie, twierdzenie 5.3 orzeka, że złożenie funkcji cięgłych Jest funkcję cięgłę. Zapytajmy, czy jeżeli złożenie jest funkcję cięgłę, to elementy tego złożenia też muszę być funkcjami cięgłyml? Odpowiedź na to pytanie jest negatywna.

Niech funkcjo 0:R* —*■ R* będzie określona wzorem

{1 dla t wymiernych

0(0 -

O dla t niewymiernych

Funkcja ta, zwana funkcję Dirichleta^l\ ma wiele interesujących własności, a między innymi tę, że nie Jest ona cięgła w żadnym punkcie (dlaczego?). Łatwo Jednak stwierdzamy, że Jej złożenie z sobę Jest funkcję stałę, a więc cięgłę.

Granica funkcji

Granicę funkcji w punkcie określimy wykorzyetujęc definicję funkcji clęgłej (zobacz etrony 26 i 54).

Niech (Z^,d^) i (Z₂,d₂) będę dwoma przestrzeniami metrycznymi oraz f:X—Y, gdzie XcZ₁, YcZj,

Definicja 5.2. Mówimy, że funkcja f ma granicę gcY w punkcie

8CZ., co zapisujemy lim f(x) • g. Jeśli funkcja F określona wzorem ¹    X—8

F(x)

f (x) dla x e X \ g dla xǤ

jest cięgła w punkcie 8,

** Teter Gustav Lejeunc Dlrichlet ' 13 II 1803 - 3 V    - mstema-

tyk niemiecki, profesor nn uniwersytetach v Berlinie i w Getyndze. Zaj-uJovał sit; mechaniką, fizyką matematyczną, ale przede wszystkim teorią liczb, gdzie uzyskał wiele podstawowych rezultatów, W swoich badaniach stosował czysto funkcje analityczne, zwane funkcjami 'szeregami) Dirich-let-*. Pierwszy sformułował i badał warunkowy zbieżność szeregów or-az podał ścisły dowód możliwości rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji odcinkami ciągłej i monotonicznej. -ykłsdy Dirichleta miały ogromny wpływ na wielu młodych jeszcze wówczas matematyków: B, Riemanna, F. Einsensteina, B. Kroneckere, R, Dedekinda i innych.