img065

CAŁKOWANIE PUNKCII NIEWYMIERNYCHPOSTACI ,»(.t.Via^łttetc), PODSTAWIENIA EULERA

Jeśli zastosujemy podstawienie A: -Jx² -*+1 -l-x, to

t=x+Jxⁱ-x+l=<p__l{x), *=^Ey = 9»(0.    =

i w rezultacie,

f-    -A 2    = 2 [—+₃f———-3f——-

J_x+V/-x + l 1, ^J / (2/-1)² J^_w (^Jr ^J (2r-l)² ht-lj^_w

= 2 lnjjc + -y.*² —

x+l

~In2x+2>/;c²-x+l-l+C.

2 2x+2vjr²-x+l-1 2 Jeśli zaś do zadanej całki zastosujemy podstawienie Eulera B: ■Jx²-x+1 = tc-1,

to t = Ujxⁱ-x ₊ l+i) = (p__l{x),    _x=*I± = <p(t),    <_p’{t)=-2^tlzlź'_>

i i    (/²-l)

n-7 r-f+l

n-7 t+t t

■y/x²-X + l =—-=-,

r-1 r-1

dx

x+<Jx²-x+l

= I -2 f —tLzlź}

l^J< 2^ t-l ^}{' ₊ lf 2^ ₊ lJ,._łiW

= f 2 ln|/| —— ln|/ -1|+———ln|f +1|1    = 2 lnll + V*²-*+l| -

1    2    / + 1 2    A=v.,(*)    '    '

—ilnjl-x+’Jx² -*+l|——lnjl + * + V-*² -Jc+l|h--+ C..

2    ¹    12 1    I l + x+-Jx²-x+l

Wydaje się, iż otrzymane wyniki różnią się wyraźnie. Jest to jednak przypuszczenie nieuzasadnione, gdyż wystarczy przyjąć C, = C+aby oba wyniki miały identyczny kształt.

dx

(jr-l)/v²-3.Y+2

4.14. Aby obliczyć całkę zauważmy, żc pierwiastkami trójmianu kwadratowego .t² - 3x +2 są liczby ar, = 2, x₂ = 1. Możemy więc zastosować podstawienie Eulera C: \jx²3x i- 2 = J(x-2)(x-l) = t(x - 2).

65