img068
68
n
3Ś ł fc (h) I < V*~ I h sl —► O. gdy I h I —*■ O i_i j n
a to oznacza, że funkcje f Jest różniczkowalna w punkcie a.
Dowód twierdzenia 6.1 został więc zakończony.
Zaznaczmy, że samo istnienie pochodnych cząstkowych (bez ich ciągłości) nie gwarantuje różniczkowalności (zobacz zadanie 5.7).
Wniosek. Z twierdzenia 6.1 wynika, że wszystkie wielomiany i funkcje wymierne {poza zerami mianownika} sę różniczkowałoś.
Różniczkowalność funkcji złożonych
Niech F:RpOK(a,r)-R oraz fk:RnOK(b,t) —R dla k « 1....... p^l.
Wówczas złożenie funkcji F z funkcjami fj,.*.,fp może nie istnieć.
Ale zakładajęc cięgłość funkcji F i f^,.«.,fp w odpowiednich punktach, możemy stwierdzić, że złożenie F z f1..«.4fp nie tylko istnieje w pewnej kuli, ale również Jest cięgle w pewnym punkcio {zobacz twierdzenie 5.3).
Niżej udowodnimy twierdzenie o różniczkowalności złożenia F z funkcjami f1#...;fp.
Twierdzenie 6.2. Deśli funkcje rzeczywisto .....f (p>l) sę okreś
lone w pewnej kuli K(e,r)cRn i różniczkowalne w punkcie a «* (a^,««.,an) oraz funkcja rzeczywista F Jest określona w kuli K(b,t)CRp i róźnicz-kowalna w punkcie b « (fj(a),...,fp(a)), to funkcja złożona g określona wzorem
9<*> - F(fj(x).....fp(«))
Jest różniczkowalna w punkcie a.
Dowód. Ponieważ funkcja różniczkowalna w danym punkcie jest w nim cięgła (zobacz 9trona58), więc korzy9toJęc z twierdzenia 5.3 wnioskujemy, że funkcja złożona g istnieje w pewnej kuli K<e C K(a,r) oraz Jest cięgła w punkcie a.
Aby stwierdzić różniczkowalność g w punkcie a zauważmy, że z założeń twierdzenia 6.2 oraz z definicji 5.3 otrzymujemy
n
fk(a*h} - fk(a) * £ °kihi * ek(h),hln • lim ck(h) * 0 (6.1)
J-l KJ J K n Ihl —O
n
(k « 1,.•.fp),
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
f- Gdy w wyniku działania Ja, okazuj] rozw iązań nic jest zadawaląjące Może to oznaczać, że w toku
czas takie samo, więc argument x - vt musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas rośnie to musi te
page0323 NlfcDOSTATKl tfEDROSA. 321 przez to oznaczyć, że jest marzeniem sentymentalnem, bez dotykal
skan0003 2 110 ÓO Stąd wynika, że ciąg Sn nie ma granicy, a to oznacza, że rozbieżny. szereg y^(-l)n
Obraz0 (38) 13. Jeżeli w surowicy krwi brak przeciwciał anty-A oraz anty-B, to oznacza, że osoba 14
r r ^ Czy to oznacza, ^ że nie można już zostać s. żeglarzem? ^ ^Można, oczywis cie! > Ale w
określonym w ustawie. To oznacza, że polski ustawodawca konstytucyjny nie daje samorządowi prawa do
Granica Jeżeli x zmierza do xt) z prawej strony, to oznacza, że dąży do xa po wartościach większych
016 2 Funkcja wykładnicza Ale / = 3 czyli 3* e (~oc, 1) u (3. +cc) To oznacza, że 3* < -1 lub 3’
CCF20081211 000 Zadania 113 Uwaga. W rozwiązaniu zadania nie występuje wynik pomiaru 2r«=30,0 mm. To
więcej podobnych podstron