img074

74

że 3+htK(2,t)). i76ftczas z różni czkoi-.alności funkcji f r? kuli K((S,u₀),r) wynika, żo

0 ■ f(a+h,u(s) ♦L^u(®^^h) “ u(e)j) - f(a,u(a)) -    (a,u(8))h_k ♦

♦ (a,u(a)) .Au ♦ £(v) .lvl_n4l

gdzie v - (0,...,0,h.,0.....0. Au)€ Rⁿ⁺¹ oraz lim £{v) « O.

.    I vl    0

Z ostatniej równości otrzymujemy    n*l

Au

(6.7)

£L- (a,u(a)) ♦ £(v) .oC __ _m _ f*k_

*k " ‘    (a,u(a)) ♦ e(v). fi gdzie: * «

fi

ma

Z clęgłości funkcji x -»>u(x) wynika, że gdy h_k~> O, to óu —*0, a w konsekwencji e(v)-*0. Olatogo wyrażenie (6.7) no granicę, gdy h_k-*0 (wielkości ot i fi są ograniczone) . Oznacza to, że funkcja u

w punkcie a pochodnę częstkowę    oraz

°*k

du

(a)

(».«(•))

(6.8)

ax_k

Wzór (6.8) nosi nazwę wzoru na pochodny częstkowę funkcji uwikłanej. Ze wzoru (6.8) oraz z założeń twierdzenia 6.5 wynika, że funkcja    Jest

cięgła w kuli K(S,t).    ^

Dowód twierdzenia 6.5 zo9tał więc zakończony.

Ćwiczenie

6.1. Udowodnić następujęce twierdzenie Oarboux^w: Jeśli funkcja rzeczywiste f ma pierwszę pochodnę w każdym punkcie przedziału <e,b>CR

**Jęan Ga?ton jarboua C 13 VIII 18AZ - 23 II 1917) - matematyk francuski, który zajmował się różnymi działami fizyki matematycznej, lecz najbardziej cenne rezultaty uzyskali w geoc.otril różniczkowej i w równaniach różniczkowych. Jost autorom wielotomowego dziwie, w którym przed-stswił rezultaty badań 7. geometrii różniczkowej krzywych i powierzchni za okres około 100 lot. Z jogo nazwiskiem związano s;i takie pojęcia, jak: wektor, tensor, linie, powierzchnio, kwadry !d itd. To właśnie Oar-boux, badając krzywoliniowe układy współrzędnych 'ważcie w analizie tensorowej, pierwszy wprowadził tetra cykliezne i pontaaferyczne współrzędna.