img081

81

6.5. Metoda funkcji nieliniowych

liniowego podziału odtworzyć potrzebne przyporządkowanie N punktów do dwóch klas szacować można za pomocą formuły:

Prawd(N, m) =

W zasadzie dla uzasadnienia tezy, że zwiększanie m zwiększa szansę sukcesu przy rozpoznawaniu wystarczyło by wykazać, że Prawd(N, m) jest rosnącą funkcją swego drugiego argumentu. Jednak specyfika tego wzrostu skłania do pokazania tu kilku szczegółów. W tym celu musimy bliżej określić funkcję L(N₎m). Stosunkowo łatwo jest określić jej wartości dla małych N oraz m = 2, na przykład z rysunku 6.8 łatwo wywnioskować(⁵), że 1(4,2) = 14. Dowolne wartości L(N, m) mogą być obliczone z formuły rekurencyjnej:

L(N, m) = L(N - 1, m) + L(N - 1, m - 1),

wykorzystywanej waraz z oczywistymi warunkami granicznymi:

L(\,m) = 2 oraz L(N, 1) = 2N\ ewentualnie można je otrzymywać wprost ze wzoru:

{ 2ⁿ    dla N < m.

Dość uciążliwa obliczeniowo postać obydwu zależności uzasadnia ce-lowść pokazania zmienności tej funkcji w postaci tabelarycznej (zebrano wartości L(N,m) dla N < 8 i m < 6) - tabela 6.1

Znając wartości funkcji L(N,m) możemy określić przebieg prawdopodobieństwa Prawd(N,m). Łatwo zauważyć, że lim Prawd(N, m) = 0

m—*0

oraz, zgodnie z zapowiedzią, lim Prawd(N,m) = 1. Przydatne z punktu

m—»oo

(⁵) Analizując rysunek warto zwrócić uwagę, że każda z narysowanych linii (będących szczególnymi przypadkami hiperpłaszczyzny dla m = 2) generuje dwa możliwe podziały: przykładowo jeden, w którym punkty x\ i X2 należą do klasy i = 1, zaś punkty x$ i xą do klasy i = 2, oraz drugi, w którym xi i X2 należą do klasy t = 2, zaś xz i należą do klasy t = 1.