img091

Wykład 8

Pochotfne czqstkowe wyższych rzędów

Pcfir,iejs E.l. 2cśll funkcje f:RⁿDK(e,r)—*R ma tę własność, że

pochodna cząstkowa    (1^14 n) nie tylko istnieje w kuli K(a,r),

ale ma Jeszcze pochodnę w kierunku osi Ox. (I4j£n) w punkcie a, to

d d f    *    a² f

liczbę    (a) oznaczamy symbolem    (a) i nazywamy dr u 93

pochcdr.tt częstkowę albo pochodną częstkowę drugiego rzędu funkcji f względem zmiennych i w punkcie a.

Oeśli istnieje możliwość dalszego obliczenia pochodnych częstkowych, to możne wyznaczyć pochodne częstkowe trzeciego rzędu

3,

o

ax_k

j£l

dx_:Jax₁

(a)

d f

ax_kdx^dx_i

(•)

i tak dalej.

Zgodnie z powyższę definicję, funkcja n ^zmiennych może mieć n

po-

2    3

ehodnych pierwszego rzędu, n pochodnych drugiego rzędu, n pochod

nych trzeciego rzędu itd. Pochodne częstkowe

a^pf

ax

1 *** ^dxi

p razy

(p.i » 1,

nazywamy pochod-

r.ymi czystymi rzędu p i oznaczamy 9ymbólem

wszystkie zaś inne

dx

pochodne rzędu p nazywamy pochodnymi mieszanymi rzędu p Przykłady

1. Niech f:R* 9 (x,y)

3x³ ♦ 3x²y

y - 15x. Wówczas

(x,y) - 9x² ♦ 6xy - 15,

df

ay

(x.y)

3x² - 3y²

dv

(x.y) . 18* - 6v.    (*.y) .

(x,y) « 6x

a²f

3?

(x,y) - -6y