85793

_Równania różniczkowe wyższych rzędów._

Równanie różniczkowe II rzędu w pewnych przypadkach można sprowadzić do równania I rzędu:

1.    Gdy mamy r-nie postaci F{x,y^,y”) = 0 wtedy stosujemy podstawienie z = y’

du

2. Gdy mamy r-nie postaci F^y.y’^”) = 0 stosujemy podstawienie: y' = u(y) (wtedy y”=    ’u(y))

3.    Gdy znamy jedno z rozwiązań yi(x), wtedy stosujemy podstawienie y(*) =>'i(*) J"*<C x)dx • Równanie różniczkowe y⁽ⁿ⁾+a„_₁y^(r,'¹⁾ + ... + a,y' + a₀y = f(x) nazywamy równaniem

różniczkowym liniowym rzędu n o stałych współczynnikach. Jeżeli f(x) = 0 równanie nazywamy liniowym jednorodnym, w przypadku przeciwnym - niejednorodnym.

Rozwiązanie r-nia zależy od pierwiastków r-nia charakterystycznego: r" +    + ... + o,r + o₀ = 0

1.    Każdemu rzeczywistemu jednokrotnemu pierwiastkowi r₀ odpowiada funkcja: y₀(x) = e^r°*

2.    Każdemu k - krotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu ro odpowiada k funkcji: y_tU) = e^v, y₂(x) = xe^,°^x. y₃(x) = x²e^v, ... y_k(x) = x^k’^le^v.

3.    Każdej parze pierwiastków zespolonych jednokrotnych V + 3/ oraz V - 3/ odpowiadają dwie funkcje: y(x) =?** cos/?x oraz z(x)=e°* sin fi x

4.    Każdej parze pierwiastków zespolonych k - krotnych V + 3i oraz V-3i odpowiada 2k funkcji: yj(x) =e^m cos/Jx, y₂(x) = xe^oa cospx, .... y_k(x) = x^k~^le^ax cos/3x,

z_l(x) = e^CK sin/Jx, z₂(x) = xe^m sin/?x,    :_k(x) = x^k‘¹e^fltrsinj5x.

Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach jest kombinacja liniowa wszystkich funkcji y\,...»y„ odpowiadających kolejnym pierwiastkom równania charakterystycznego tza funkcja y- Cj yi+ ... + Q,y_n- Równanie niejednorodne rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych lub metodą przewidywali Metoda uzmienniania stałych polega na zastąpieniu stałych C, w rozwiązaniu funkcjami G(x), których pochodne wyznaczamy z układu równań:

[C{(x)yi(x) + C2(x)y2(x) ⁺ --- + C;(%n(*) = 0 c,'(x)y;(x) + C2(x)>'2(J()+-+c;(x)^(x) = o

lc₁'(x)y{ⁿ-^l,(x) + q(x)y<ⁿ-^1,(x)+... + c;(x)yiⁿ-^1,(x) = f(x) _Zadania_

1)    Rozwiązać równania drugiego rzędu postaci F(x,y',y”) = 0

^a) (1 ⁺ x)y" = y’    b) (x⁺l)y” + x (y’)² = y’    c) y" (X² + 1) = 2xy’ y(0) = 1./(0) = 3

2)    Rozwiązać równania drugiego rzędu postaci F(y,y’>y”) = 0

a)2y" = e^y j(0) = 0 j10) = l b) 3y’y" = 2y y(0)=y'(0) = l    c) yy‘ ’ + (y’)² = 1

A)    =°    e)y(l-lny)/- + (l + lny)Cy’)² = 0    f) 2yy”-3(/)² = 4/

3)

Rozwiązać równania rzędu drugiego, wiedząc, żeyi(x) jest jednym z rozwiązań: 1    9

a) y+-y —py = 0    y,(x) = x³    b) x²y” + 2xy’ - 6y = 0

y.(x) = x²

d)(l-x²)y”-2x/ + 2y = 0 y,(x) = x    e) /’-y’tgx + 2y = 0    y,(x) = sinx

Rozwiązać równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach: a)y” -    - 6y = 0    b)y” + 4y’ + 4y = 0

Q/^v-y = 0    ejy^-y’ = 0    f)y^v+4y” = 0

Rozwiązać równania liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach: a)y" + 3y'+ 2y = 4    b)y”-y’ = 3x²

d)y” - 6y' + 9y = 3x - Se'    ejy⁵ - 2y^f” + y” = x + xe*

e^2x

c)y” + 4y' + 5y = 0

g)yⁿ'+2y’^,+y = 0

c)y" + 2y' + y = x* e * f) y” - 2y’ + lOy = 37 cos3x

g)y” ⁺y = sinx

h)y”-3y’ + 2y;

i)y”-2y’+y =

Znając układ fundamentalny rozwiązań r-nia różniczkowego liniowego jednorodnego napisać to równanie: »)yi(x) = e\ y&) = e* h)y_t(x) = l,yi(x) = x c)y,(x) - 1, yjx) = e’ d)y,(x) = e’s\m,y/x) = e 'cosx

4)