3582328104

2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW

2.1 POJĘCIA WSTĘPNE

Def. 2.1.1 (Równanie różniczkowe liniowe rzędu n)

Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n nazywamy równanie postaci

ou)    y⁽ⁿ⁾ + Pi(03’^<”"¹⁾ + p₂(t)y^{n~²⁾ +•••+Pn-i(t)y'+p_n(t)y = MO-

Uwaga. Jeżeli n = 2, to będziemy pisali /»(*) i g(/) zamiast odpowiednio p₂{t) i p₂(f). Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego ma wtedy postać

CU)    y"+p(t)y'+q(t)y = h(t).

Tw. 2.1.2 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla równania (LJ)

Niech funkcje p₂(t), p₂(t).....pjj) i h(t) będą ciągłe na przedziale (a,b). Wtedy dla każdego punktu (to,    y₂,y„.₂) e (a,b) x

R" zagadnienie początkowe

y^{n) + Pi(t)y^{n~^l) + p₂(t)y⁽ⁿ~²⁾ +...+ p_a-i(t)y'+p_n(t)y = h(t), y(t₀) = >₀, y(r₀) = y™ (f₀) = y«-i

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a,b).

2.2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE

Def. 2.2.1 (równanie różniczkowe liniowe jednorodne)

Równaniem różniczkowym jednorodnym rzędu n nazywamy równanie postaci

cuj    y^n> + Pi Wy™ + p₂(t)y^{n~²⁾ +...+Pn-i (0y'+PnWy = o.

Uwaga. Dla równania drugiego rzędu w tym przypadku (LJJ piszemy p(ł) i q(t) zamiast odpowiednio p₂(f) i p₂(t), czyli (Ua)    y'+ p(t)y'+q(t)y = 0.

Fakt 2.2.2 (o kombinacji liniowej rozwiązań równania jednorodnego)

Niech g(t), ip(t) będą rozwiązaniami równania jednorodnego (UJ. Wtedy dla dowolnych stałych a, f3 funkcja y(0 = cc<p(t) + f3yAjt) jest także rozwiązaniem tego równania.

Uwaga. Inaczej mówiąc, dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego jest również rozwiązaniem tego równania.

Def. 2.2.3 (układ fundamentalny równania (LJn))

Układ n rozwiązań (y₂(t), y₂(ł), .... y„(J) równania jednorodnego (UJ określonych na przedziale (a,b) nazywamy układem fundamentalnym tego równania na tym przedziale, jeżeli dla każdego t e (a,b) spełniony jest warunek

*<0	y2(0 ••	■■ j.<0
Jl\t)	y2'<0	■■ yn'(t)
yr\t)	yT'\t) ••	■■ y^i 0

Uwaga. Powyższy wyznacznik oznaczamy przez W(y₂(f), y₂(t),y_n(t)) i nazywamy wrońskianem układu funkcji (y₂(ł), y₂(t),

....*(0).

Fakt 2.2.4 (Wzór Liouville'a)

Niech (y₂(t), y₂(t),..., y„(t)) będzie układem n rozwiązań równania jednorodnego (UJ określonych na przedziale (o, b). Wtedy ich wrońskian W(t) = W(y₂(t), y₂(f),.... y„(f)) spełnia warunek

(

-Jpi<^rW^r

W(t) = W(t₀)e^l'>

gdzie /₀ jest dowolnym punktem z przedziału (a,b).

Fakt 2.2.5 (o postaci rozwiązania ogólnego równania liniowego jednorodnego)

Niech (y₂(t), y₂(t), ..., y_a(t)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego (UJ. Wtedy rozwiązanie ogólne tego równania dane jest wzorem

MO = C,* (0 + C₂y₂ (f) +...+ C„>„ (0.

gdzie Ci, C₂,C_n są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.