1636661158

Układy równań. Równania wyższych rzędów.

6-1

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych

Definicja. Układem n równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego nazywamy układ

(UR ń)

x'l = fl(t,Xi,. . .,x_n)

®2 = h(t,Xi,...,X_n)

^xn = fn(t,X i, ...,X_n)

Układ (URn) będziemy zwykle zapisywać w postaci wektorowej: oznaczając x := col (x\,..., x_n), x' := col (x[,..., x'_n)₁ f := col (fi,..., /_n) otrzymujemy

(URn)    x⁷ = f(£,x).

Definicja. Rozwiązanie układu (URn) to funkcja wektorowa tp: I —> Rⁿ taka, że ¥>⁷(f) = f(£, v?(i)) dla każdego £ 6 /.

Definicja. Warunki początkowe dla układu (URn) to

(WPn)

czyli w zapisie wektorowym

(WPn)

x₁(t₀) = Zi,o x₂(t₀) = x₂,o

Xn(t₀) = X_nfi

x(£₀) = xq, gdzie x₀ := col (a^o,..., x„_to)

Układ (URn) wraz z warunkami początkowymi (WPn) będziemy nazywali zagadnieniem początkowym.

Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego (URn)+(WPn) jest to rozwiązanie cp: I —> Rⁿ układu (URn) takie, że to € / oraz <p(to) = ^xo-