245(1)

§ 7. Równania różniczkowe liniowe jednorodne wyższych rzędów o stałych

współczynnikach

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym nazywamy równanie

y⁽ⁿ⁾    +Pn-\y’+p„y — o    (i)

którego wszystkie wyrazy są liniowe względem szukanej funkcji i jej pochodnych, a współczynniki p_ltp₂, •■■,Pn są znanymi funkcjami argumentu jc albo stałymi.

Całka ogólna równania liniowego jednorodnego n-tego rzędu (1) ma postać

y — C_iy_l-\-C₂y2'i' ••• -\-C_ny_n

gdzie: y₂,y₂,..., y„— liniowo niezależne całki szczególne tego równania.

W przypadku gdy wszystkie współczynniki Pi liniowego równania jednorodnego są stałe, jego całkę ogólną znajdujemy za pomocą równania charakterystycznego

r”+p₁rⁿ-¹-ł-p₁rⁿ-²+ ... +p_n-₂r+p_n — 0    (2)

które powstaje z równania liniowego jednorodnego w ten* sposob, że zachowując wszystkie współczynniki p_t zastępujemy funkcję y jednością, a wszystkie pochodne — odpowiednimi potęgami r. Przy tym:

1)    Jeżeli wszystkie pierwiastki r_l>r₂,...,r„ równania charakterystycznego (2) są rzeczywiste i różne (jednokrotne), to całka ogólna równania (1) wyraża się wzorem

_y = c_ie^r'^x+C₂e^r>^x+ ... +C_ne^r**    (3)

2)    jeżeli wśród pierwiastków równania charakterystycznego są jednokrotne pierwiastki zespolone, to każdej parze pierwiastków sprzężonych r_1>2 = ot ± j?/ we wzorze (3) odpowiada wyrażenie

e^xx(Ci cos jh' -f C₂ sin /?.v)

zastępujące odpowiednią dla tych pierwiastków parę wyrazów we wzorze (3);

3)    jeżeli pierwiastek rzeczywisty r_t równania (2) ma krotność k (r, = = r₂ = ... — r_k), to we wzorze (3) zamiast odpowiednich k wyrazów wystąpi składnik

e^r'^x(C_l + C₂x+C_ixⁱ+ ... +C_kx^k-')

4)    jeżeli para pierwiastków zespolonych sprzężonych r_li2 = a±^i równania (2) ma krotność k, to odpowiednie k par wyrazów, odpowiadających we wzorze (3) pierwiastkom zespolonym sprzężonym, zastępuje się składnikiem o postaci

e^xx[(C₁+.C₂x+ ... +C_kx^k-')cospx+(C_k+1+C_i+2x+ ... C^-^sinpx\

1107. Rozwiązać równania:

l)y"-5/-6y = 0    2) /"-6/'+13/

³⁾ ^⁺⁴4r+⁴ⁱ =^{0 4}> $*-y -⁰

0

dx*

5) y^w+l3yⁱ²⁾-\-36y = 0    6) _yP)+2yV)+_yO) = o

Rozwiązanie: 1) Zastępując w danym równaniu różniczkowym funkcję y jednością, a jej pochodne odpowiednimi potęgami r, piszemy równanie charakterystyczne r²—5r—6 = 0.

Równanie charakterystyczne ma dwa rzeczywiste jednokrotne pierwiastki: ^r\ — 6, r₂ = — 1. Na mocy regyły 1, szukaną całką ogólną danego równania różniczkowego będzie y = C, e⁽'^x+C₂e~^z.

2)    Tworzymy, według podanej reguły, równanie charakterystyczne r³— — 6r²-fl3r = 0. Ma ono jeden pierwiastek rzeczywisty /•, — 0 oraz parę pierwiastków zespolonych sprzężonych r₂,₃ = 3+;2/. W myśl reguł I i 2, całką ogólną danego równania będzie y = C₁+<?³'^:(C₂cos2*+C3sin2.v).

3)    Rozwiązując równanie charakterystyczne r²f 4r+4 = 0 danego równania różniczkowego znajdujemy dwa jednakowe pierwiastki rzeczywiste r_] = r₂ = —2. Zatem, zgodnie z regułą 3, całką ogólną równania będzie 5 = e-²'(C,+C₂0.

4)    Równanie charakterystyczne r⁴— 1 = 0 danego równania różniczkowego y(⁴⁾—y = 0 mą pierwiastki r, = — 1, r₂ — 1, r_Jt4 = ±i. W myśl reguły 1 i 2, szukana całka ogólna będzie miała postać y = C_le~^x+C₂e^x-\-H CjCos.Y+CiSin^.

5)    Równaniu różniczkowemu jt^ł)-f-13;>⁽²>+36)’ — 0 odpowiada równanie charakterystyczne r⁴+13r²+36 = 0 albo (r²+4) (r²+9) = 0. Ma ono dwie pary sprzężonych pierwiastków urojonych r_li2 — ±2/, r₃,₄ = ±3i. W edług reguły 2, całką ogólną danego równania będzie y = C,cos2x+ + Qsin2.v |- C3C0S3.Y-I- C₄sin3,v.

⁶)    Równaniu różniczkowemu yW+lyW+yP* = 0 odpowiada równanie charakterystyczne r⁷+2r⁵+r³ = 0 albo r^:ł(r²+l)² = 0. Ma ono potrójny Pierwiastek rzeczywisty r = 0 (r_x = r₂ == r₃ = 0) oraz parę podwójnych sprzężonych pierwiastków urojonych r = ±/ (r₄ = r_s — i, r_b = r₂ = —i).

Podstawie reguł 3 i 4, ogólną całką tego równania będzie y = C^+Ca-b

^V^v2-b(C₄-l-Goc)cosw-f C ”-)sin.v.    ,