matma10

Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach

Przykłady równań jednorodnych:

1. y''+y'-2y = 0 - jego równanie charakterystyczne r² + r- 2 = 0 ma rozwiązania r, =1, r₂ = -2, w związku z tym równanie różniczkowe ma rozwiązanie ogólne postaci y = C^e^r'^x + C₂e^¥ = C_}e^x + C₂e~^2x

2.    y"-4y'+4y = 0 - jego równanie charakterystyczne r² - 4r + 4 = 0 ma rozwiązanie r = 2, w związku z tym równanie różniczkowe ma rozwiązanie ogólne postaci y = (C,+C₂x)e”=(C₁+C₂xy^ic

3.    y"-4y'+5y = 0 - jego równanie charakterystyczne r² - Ar + 5 = 0 ma rozwiązania r, =2-i, r₂ =2 +i (czyli « = 2, ń = 1), w związku z tym równanie różniczkowe ma rozwiązanie ogólne postaci

y = e^ax(C_] sinbx + C₂ cosbx) = e^2x(Cj sinx + C₂ cosx)

Przykłady równań niejednorodnych:

Metoda przewidywań:

1. y"+y'-2y -x- rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = ax + b

2.    y''+y'-2y = xe^3x - rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y - (ax + b)e^3x

3.    y"+y'-2y = xe^x- rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = x(ax + b)e^x

4.    y"+y'-2y ~e^x- rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = axe^x

5.    y”+y'—2y = e^3x- rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = ae^3x

6.    y '+y'-2y = sinx + xcos x - rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = (ax + b)sin x + (ex + d)cosx

7.    / '+y~2y = sin 2x - rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y — a sin 2x + b cos 2x

8.    y' '+y'-2y = e^x sin x - rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = e^x(asmx + b cos jc)

9.    y"+y'-2y — x + e^x - rozkładamy na dwa równaniay’’+y-2y = x i y"+y'-2y = e^x - dla pierwszego przewidujemy rozwiązanie w postaci y = ax + b, dla drugiego y = axe^x, rozwiązanie szczególne równania wyjściowego będzie sumą tych dwóch rozwiązań

10.    y'-4y+4y = x² + x - rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = ax² +bx + c

11.    y'-4y+4y = xe^3x - rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = (ax + b)e^3x

12.    y'-4y+4y = xe^2x - rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = x²(ax + b)e^2x

13. y'4y'+5 y -e^2x cos jc - rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = xe^2x (asinx + b cos x)

Ogólnie: jeżeli /(jc) -W(x)-e^ax • (P(x) sin f3x + g(jc)cos J3x), to rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = x^k ■ A(x)^xe^ax • (i?(x)sm f3x + C(x)cos /?x), gdzie stA = stW, stB = stC = max{stP,stQ}, zaś k jest krotnością liczby a + J3i jako rozwiązania równania charakterystycznego

Metoda uzmienniania stałych:

1. y''+y-2y =.....?..... - rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego y '+y'-2y = 0 jest y = C_le^x + C₂e~^2x

x + l

czyli y_} =e^x, y₂ -e ^2x, rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego jest funkcja

y - Cj (x)e^x + C₂ (x)e~^2x, gdzie C_l (x) i C₂ (x) są rozwiązaniami układu {    ^ ⁺

l^ci(x>i +C₂(x)y₂ = f

cyy +ć₂{xy^2x =o ‘ _c;(_xy -2c₂(_xy^2x=~

2.    y"-4y'+4y = f(_x) - y_} = _e~^2x, y₂ = xe~^2x

3. y^,-4y+5y = /(x) - y_] =e^2xsinx, y₂ =e^2xcosx

4. y^ł+y=/(x) - y_} =1, y₂ =e~^x

4