478 2

47B

12. Rozwiązania zadań

Jest to równanie różnicowe o stałych współczynnikach, więc jego rozwiązanie można

napisać w postaci

<5*=c,u;+c₂t/i

(§ 8.5.1). gdzie u_v i u₂ są pierwiastkami równania

u²-2u +1.01²=0,    czyli    u,,₂ = 1 ±0.0201^I/2 i.

Z «5₀ i <Sj wyznaczamy c, i c_2l co daje

i5₄=(t^⁺¹ — Ma⁺¹)/(tt| — u₂) = 1.01* sin (A: +1) ę>/sin <p,

gdzie tg p=0.0201^1/2 = 0.14177 i ę?=8.069^c. Ponieważ 22ę><180^D<23?, więc największe n jest równe 21.

4- (02.....0S>-(1. 1, M). <^a«. ..., «S*=0,1.2.1. ¥).

5.    (b) Wszystkie występujące tu macierze są kwadratowe i stopnia «. Gdy oblicza się odwrotności ¹, potrzebujemy (n + 2(n -1 ))m³ = (3n—2)m³ mnożeńdla rozkładu i ((n— l)-f + 2(/t—1) f l)m² = (3/i—2)m² mnożeń dla podstawienia w przód i wstecz. Używając natomiast rozkładu trójkątnego dla a_k, zmniejszamy koszt obliczeń o §wn³ mnożeń.

6.    W związku z (5.4.7) zauważmy, że — jeśli pominąć czynniki skalujące — L jest równe transpozycji macierzy trójkątnej górnej tworzonej w eliminacji Gaussa. W czasie eliminacji nie tworzy się elementów niezerowych w kolumnie nad pierwszym niezerowym elementem tej kolumny w wyjściowej macierzy. Własność <5.4.6) jest raczej oczywista.

§ 5.5

„ . .    ["0.0012431 fO.OOOOOll

*•^(a) ''I0.001572J' 'ⁱ⁼[o J

ro.oon	0.6591
[o.OOlJ

2. (a) Niech będzie £ |%|. Załóżmy, że ^ jest największe dla /=/.

y=Ax=> y_t- Y. ^an^xj *+ Mś *t IH U I M*|Lśs,\|x| .

i

Stąd    Z drugiej strony, wybierzmy wektor x taki, że Xj=sgfl(a/j)- Wtedy

(b) ||(>ł+S)*|h|Mx+J*||<|H| + ||«r||«(|W| + ||J»J|)||*||.

ll^+Ą|-”PlK^⁺⁴H|/IWI<IMI+IWI-

1^5||-«up1|^«x||/||x||c||^|||1jj||.