1109145324

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych i jego rozwiąznie ogólne ma postać CORJ = C ■ h(t).

Aby uzyskać rozwiązanie danego równania (niejednorodnego) uzmienniamy stalą tzn wstawiamy do równania iloczyn x(t) = C(t) ■ h(t) i wyznaczamy funkję C(t).

Przykład 1.3 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania x + x = t

Rozwiązujemy równanie jednorodne x + x = 0. Wówczas CORJ = C ■ e~^l (!) A zatem szukamy rozwiązanie równania niejednorodnego w postaci x = C(t)e~^l.

(ć7(*)e-^ + C(t)e-‘ = t ; (C'(f)e-‘ - C(t)e"‘) + C{t)e-¹ = t ;

C'{t)e~^ł = t ; C'(t) = t-e^ł ; C(t) = t ■ e^ł — e^ł + Ci A zatem CORN = C{t)e~^ł = (t ■ e^ł — e* + Ci)e~^ł = t - 1 + C\e~^ł.

Zauważmy, że podanym przykładzie w pewnym momencie zredukowały się wyrażenia z C(t). Nie jest to przypadek. Na tym polega ta metoda. Gdyby C(t) się nie redukowało to oznaczałby pomyłkę w obliczniach.

1.2 Równanie liniowe rzędu 2 o stałych współczynnikach

Jest to równanie postaci

x + bx + cx = f(t)    (5)

Równanie to jako równanie rzędu 2 posiada rozwiązania zależne od dwu parametrów.

1.2.1 Równanie liniowe jednorodne rzędu 2 o stałych współczynnikach

Rozpatrujemy równanie jednorodne

x + bx + cx = 0    (6)

Twierdzenie 1.4 Zbiór rozwiązań równania (8) jest przestrzenią liniową wymiaru 2.    □

A zatem rozwiązanie ogólne ma postać CORJ = A ■ aą(f) + B ■ x₂(t) gdzie xj(t),x₂(t) są pewnymi rozwiązaniami bazowymi. Pozostaje wyznaczyć (odgadnąć) te rozwiązania. Rozpatrujemy wielomian charakterystyczny

aA² + b\ + c = 0    (7)

Niech A = b² — 4ac. Rozpatrujemy przypadki.

A > 0. Wówczas wielomian charakterystyczny ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste Ai ^ \₂. Rozwiązaniami bazowymi są funkcje e^A,t , e^Xlł a więc CORJ = C\ ■ e^x,t + C₂ ■ e^A2'.

Przykład 1.5 x+5x+6x = 0. Wówczas A = 1 > 0, Ai = — 2 , A2 = — 3 a więc CORJ = Cie ²¹+C₂e ^3t.