2500335331

Zauważmy, że jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, możemy więc je scałkować stronami równanie.

/ ² ^ dr = — f X (r,r + a)dr.

Jo z(r)    Jo

W pierwszym równaniu podstawmy z(r) = v.

ręi_dr= r^w r^w i*.

JO 2(ł’)    Jz(0) V    Jn(0,a) V

Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy:

/n|z(s)| — /n|n(0, a)I = — f A(r,r + a)dr.

Jo

Skoro z(s) > 0 i p(t) > 0, to biorąc exponentę obu stron równości otrzymujemy

²(^s)    _    -j;\{r,T+a)dr

n(0, a)

Mnożąc to równanie przez p(t) otrzymujemy ostateczną postać z(s): z(s) = n( 0,a)e--fó^Vr'^r+a>dr.

Zauważmy, że

z(s) — n(t(s), a(s)) — n(s, a + s) ^a~=L^+s n(t, a).

Wobec tego dla (t, a) € B otrzymujemy:

n(t, a) =*(*) = r(0)e-    = „(o, a - t)e~!ó

Analogicznie, możemy wyznaczyć rozwiązania dla (t,a) € A = A\ (patrz wykres 2.2). Załóżmy, że n jest rozwiązaniem równania (2.1) z warunkiem n(t, 0) = p(t), określonym dla t takich, że 0 < t < h (ponieważ funkcję p(t) znamy jedynie dla tych t). Niecharakterysty-czność danych wynika z tego, że (1,1) l/( (1,0).

Rozwiązania dla (t, a) E A wyznaczymy rozwiązując układ (2.11) z warunkami początkowymi:

f m=t

< a(0) = 0 [ =(0) = p(t)

Wówczas

z(s) = n(t(s), a(s)) = n(t + s, s) ^t~='“ n(t, a).

Wobec tego dla (t, a) E A otrzymujemy:

n(t, a) = p(t- a)e~(2.13) Otrzymahśmy zatem rozwiązania (2.10).

Łatwo sprawdzić, że te funkcje są klasy C² i że spełniają równanie (2.1), zatem są szukanymi rozwiązaniami.

Dalej będziemy mogli krokami, w kolejnych zbiorach A_n (patrz rysunek 2.3), znaleźć rozwiązania dla wszystkich t > 0 i a > 0. Znając bowiem rozwiązanie w zbiorach B, Ai,...,