1636661167

6-7

Układy równań. Równania wyższych rzędów.

Definicja. Rozwiązanie zagadnienia początkowego (RRZn)+(WPn) jest to rozwiązanie ip: I —> R równania (RRZn) takie, że to G / oraz <p(io) = Xo, — fx, .. ., ¥><"^_1>(t₀) = *„_!•

Równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu (RRZn) sprowadza się do układu n równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu

x[ — x₂ x'_n = f(t,xi,... , rr_n),

gdzie X\ := x, x₂ := x', ..., a:_n :=    Istotnie, jeśli p: I —» R jest

rozwiązaniem równania (RRZn), to funkcja wektorowa (<p, ipf ..., ph^1-1)): / —» R jest rozwiązaniem układu (6.2). Na odwrót, jeśli funkcja wektorowa (pi,P2, • • •, p_n): / —> Rⁿ jest rozwiązaniem układu (6.2), to jej pierwsza współrzędna p\: I —> R jest rozwiązaniem równania (RRZn)

Odtąd, przez P będziemy (w tym podrozdziale) oznaczać prostopadłościan [x₀ — £o,    + £o] x [^i — £i,+ £i] • • • x [x_n-i — £_n_i,x_n—\ + £_n_i], gdzie

£q, . . . , £_n— 1 > 0.

Definicja. Funkcja / = /(i, pi,... ,p_n) ■ [to ^— ó, to + <5] x P —> R, gdzie ó > 0, spełnia na [to — ń, to + S] x P warunek Lipschitza względem (pi,... ,p_n), jeżeli istnieje L > 0 takie, że

. . . ,p„) -    . . . ,p„)\ < L||(fe,...,Pn) ~ (Pl,.-.,J>n)|l

dla wszystkich t € [to — <5, to + £] i wszystkich (pi,... ,p_n), (pi, • • ■ ,Pn) € P.

Twierdzenie 6.9 (Twierdzenie Picarda(-Lindelófa)). Niech

f: [to — £, to + ń] xP->R będzie funkcją ciągłą spełniającą na

[to — ó, to + S] x P warunek Lipschitza względem (pi,... ,p_n) ze stalą L.

Wówczas istnieje jednoznaczne rozwiązanie <p: [to — p, to + rj] —> R

zagadnienia początkowego

(RRZn-ZP)

x(ⁿ) = f(t,x,x',... ,x(ⁿ ^), x(to) = £o,

(t_Q) = _Xn-i

gdzie rj G (0,5].