3582326884

Równania różniczkowe wyższych rzei

Równanie różniczkowe II rzędu w pewnych przypadkach można sprowadzić do równania I rzędu:

1.    Gdy marny r-nie postaci F(x_Jy¹ły^JJj = 0 wtedy stosujemy podstawienie z = y’

du

2. Gdy mamy r-nie postaci F(y,y',y'9 = 0 stosujemy podstawienie: y‘ = u(y) (wtedyy“=    ’^u(y))

3.    Gdy znamy jedno z rozwiązań y₁(x), wtedy stosujemy podstawienie y(*0 =yi(-x)J~^M( *)<**

• Równanie różniczkowe + a_n_₁y*ⁿ~^ + ... + a\y' + a₀y = f (x) nazywamy równaniem

różniczkowym liniowym rzędu n o stałych współczynnikach. Jeżeli f(x) = 0 równanie nazywamy liniowym jednorodnym, w przypadku przeciwnym - niejednorodnym.

Rozwiązanie r-nia zależy od pierwiastków r-nia charakterystycznego: r” + a_n_-₁rⁿ~'¹ + ... + a-,r + Oq = 0

1.    Każdemu rzeczywistemu jednokrotnemu pierwiastkowi r₀ odpowiada funkcja: y_fl(x) — e^r°^x

2.    Każdemu k - krotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu ro odpowiada k funkcji: yi(x) = e^r°*. y₂(x) = xe^r<i*, y₃(x) = x²e^r°*, ... y_k{x) = x^k_V°^x.

3.    Każdej parze pierwiastków zespolonych jednokrotnych V + 3i oraz V-3i odpowiadają dwie funkcje: y(x) = e°* cos/?x oraz z(x) =e^a sin/?x

4.    Każdej parze pierwiastków zespolonych k-krotnych V + 3i oraz V-3f odpowiada 2k funkcji: yj(x) =e^a* cas/3x, y₂(x) = xe^ax cas/3x, ..., y_fc(x) = x*~¹e°* cos/?x,

Zj(x) = sin/?x, z₂{x) = xe^m sm f3x, ..., z_k(x) = x^k~¹e^a* smfix.

Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach jest kombinacja liniowa wszystkich funkcji yu ..., y₀ odpowiadających kolejnym pierwiastkom równania charakterystycznego tzn. funkcja y= Ciyi+... + C_ny_n. Równanie niejednorodne rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych lub metodą przewidywań Metoda uzmienniania stałych polega na zastąpieniu stałych Cj w rozwiązaniu funkcjami Ci(x), których pochodne wyznaczamy z układu równań:

'ClWjhW + C^f2 (x)y₂ (*) + •■■ + C'n(*)yn (*) -⁰

^(x)yi(x) + C'₂ (x)y£ (x) +... + C' (x)y'_n (x) = 0

+...+ą(x)y<r'>(x) = r (*)

_Zadania_

1) Rozwiązać równania drugiego rzędu postaci F^y'^³³) = 0

a) (1 + x)y³³ =y³

b) (x⁺l) y‘‘ + x (y³) = y‘

c) y“ (X² + 1) = 2xy³ y(0) = 1, y’(0) = 3

2) Rozwiązać równania drugiego rzędu postaci F(y,y³,y³³) = 0

^a) 2y“ = e* y(0) = 0 y³(0) = 1 b) 3y³y³³ = 2y y(0)=y’(0) = l

d) y

i-y

(y0²

e)y(l-lny)y³³ + (l + lny)(y³)²=0

3) Rozwiązać równania rzędu drugiego, wiedząc, że yi(x) jest jednym z rozwiązań: 19

a) y+-y--2 y ^{= 0}    yi(*) = X³    b) xV³ + 2xy’ - 6y = 0

^    X.

d) (1 — x²)y³³ — 2 xy³ + 2 y = 0 yi(x) = x    e) y³³-y³ tg x + 2y = 0

3)    Rozwiązać równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach:

a)y” — 5 y' — by = 0    b)y³³ + 4y³ + 4y = 0

d)y^!V-y = Q    e)y"-y’ = 0    f)f^/+4y’^a = Q

4)    Rozwiązać równania liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach:

a)y³³ + 3y³ + 2y = 4    b)y³³-y³ = 3x²

d)y³³ - 6y³ + 9y = 3x - 8e*    e)y’^v-2y“^,+y” = x + xe^x

g)y”+y = sin²x    h)y³³-3y³ + 2y

c) yy“ ⁺ (y')² = i

f)2yy"-3Cy')² = 4y²

yr(x) = X²

yi(x) = sin x

c)y” + 4y³+ 5y = 0 _g)yv₊2y>_+y = o

c)y³³ + 2y³ + y = X² e~^x f)y” - 2y³ + lOy = 37 cos3x

1 + e

2x

i)y"-2y’+y=-_T

x

5) Znając układ fundamentalny rozwiązań r-nia różniczkowego liniowego jednorodnego napisać to równanie: = e^x, yjx) = e^x b )yi(x) = 1, ytfc) = x c )yi(x) = 1, y£x) = e^x A)y₁(x) = e^xsmx,y^x)