img121

121

równe ~ (« * 1,2,...). Przypuśćmy, Ze z pokrycia P nie nożne wybrać 2

skończonej Ilości zbiorów pokrywajęcych.Z. wónczae dla pewnego mc N istnieje kula K(a, -^r) , której nie można pokryć .„kończone ilości® zblo-² _

rów rodziny P. W kuli K(e,    obierzmy Jakikolwiek punkt *£K(a,^r)OZ

2    2"

(istnienie punktu 5 wynika z definicji -i- - sieci). Z cięgu i,?,...

■» _s ²

można wybrać podcięg zbieżny, bo (Z,d; jest kompaktem. Nie zmniejszając ogólności rozumowania przyjmujemy, że

li. s

m -*co

x e Zc

n

<*CT

Wynika stęd, że dla pewnego i mamy x£P_i, a ppnieweż P_Ł jest zbiorem otwartym, więc istnieje kula f?(x,r)cP_i« w kuli tej jest zawarta co najmniej .jedna z kul    K(a,-^),..., bowiem w przeciwnym przypadku

~islibydmy [r - ■— ^d(a,x) dla każdego n£N, a to Jest niemożliwe, gdyż

I 2^m I

r < |r -    d(a.x) $ d(e,x) ♦ d(x,x)4    ♦ d(x,x)

a dla dużych m, wyrażenie stojęce po prawej stronie ostatniej nierówności można uczynić dowolnie małym, a zatem mniejszym od liczby dodatniej r.

Przyjmijmy, że K(i, -i— )CK(x,r). Kuli K(a, -i-) nie można pokryć.

2^P 2^P

skończonę ilości® zbiorów rodziny P, a zatem nie można tego również*" uczynić dla zbioru P_Ł=>K(x,r), co jest oczywiście absurdem.

Dowód został zakończony.

4.4. Pokażemy najpierw, że odwzorowanie g:Z3 x —►d(x,f(x)) jest cięgle w Z. Rzeczywiście, Jeśli xe Z, to dla x f x mamy

d(x,f(x))4 d(x,x) ♦ d(x,f(x)) ♦ d(f(x),f(x))< 2d(x,x) «■ d(S.f(S))

Stęd d(x,f(x)) - d(x,d(x)) < 2d(x,§). Zupełnie podobnie otrzymujemy nierówność - 2d(x,§)< d(x,f(x)) - d(x,f(S)). Zetem Id(x,f(x))-d(x,f(x))I< < 2d(x,x) z czego Już bezpośrednio wynika clęgłońć funkcji g.

Ponieważ g jest cięgła w Z i (Z,d) Jest kompaktem, więc g osięga w zbiorze Z minimum równe g{a). Przypuśćmy, ze w punkcie acZ mamy g(a) » d(a,f(a))>0. Wtedy a 4 f(*0 1 możemy korzystać z założenie (*)*

g(f(a)) - d(f(a),f(f(a)))<d(e,f(m)) ■ g(a) co jest sprzeczne z tym. Ze funkcje g osięga rnlnlmu w punkcie a.