img251

Identycznie jak w przypadku dwóch cech, chcemy tak dobrać współczynniki p,, aby udział czynnika losowego e, był jak najmniejszy. Prowadzi to do konstrukcji funkcji

regresji x₂.....x_p), dla której wartość oczekiwana kwadratu odchylenia Y od /osiąga

minimum, tzn.:

E[Y-f(x_l,x2.....x_p))² = min .

Funkcji regresji można użyć do przewidywania (prognozy) wartości zmiennej losowej

Y gdy znane są wartości zmiennych losowych X,, X₂.....X_p . Równanie służące do takiego

przewidywania nazywa się równaniem regresji wielokrotnej i ma ono postać:

y=Po + Pi x_x + $₂x₂ + ... + $_px_p    (12.2)

Współczynniki p, noszą nazwę cząstkowych współczynników regresji.

Wartości współczynników p, odnoszą się do populacji i na ogół nie są znane, lecz podlegają oszacowaniu na podstawie próby. Oznaczmy zatem przez n liczebność próby, natomiast przez b₀, b_t, b₂, ... b_p estymatory parametrów p₀, p_h p₂, ... p_r Równanie regresji wielokrotnej przyjmuje wtedy postać:

y = b₀ + 6, A', + b₂x₂ + ... + b_p x_p

Jeżeli przez <p oznaczymy sumę kwadratów odchyleń funkcji regresji od Y:

n    n

tp= Ie? = I(y,-y_f)² = 0V" Po" Pi *i " ••• " P_PXp)²

r«i    i*i

to współczynniki b, wyznaczymy rozwiązując układ równań:

ó(p

5p,

0,

i =1,2.....p

Pochodne cząstkowe mają postać:

f^ = -210V -Po-Pi^i/- P₂    P_p X_pj)

|^ = -2 i^(y₍- p₀- p! x_u-p₂Xy-... - P_pXpi),    ;= 1,2.....p

Po przyrównaniu pochodnych do zera, zastąpieniu p, ich estymatorami bj. podzieleniu obu stron równań przez 2 i przeniesieniu wyrazów nie zawierających niewiadomych bj

251