img286

zatem

R = 0,8837 .

Oszacowaniem wariancji resztowej jest

O ^    0,02781 _nnnmrn

^-Tr^rT—^^--⁰-^0003391 *

Wariancje i kowariancje estymatorów b_{ wyrażają się wzorami

var bi = S" Ą    oraz cov (b_it bj) = 5" Ą ,

gdzie S", S^ij są odpowiednimi elementami macierzy S ^_1. Natomiast błędy standardowe cząstkowych współczynników regresji wyrażają się wzorami

s_b='fŚ^!rŹ

Wyznaczenie tych wartości zakończy estymację nieznanych parametrów i ich wariancji metodą najmniejszych kwadratów.

Rozpatrzymy teraz kilka zagadnień związanych z wyliczoną właśnie funkcją regresji i z jej wykorzystaniem.

1. Czy zmienne zależna i niezależna są istotnie ze sobą powiązane? W języku wprowadzonych wyżej oznaczeń hipoteza brzmi

^wo^: Pi = &> = 03 = 0 •

Hipoteza ta jest równoważna hipotezie, że prawdziwy współczynnik korelacji wielokrotnej jest równy zeru.

Posłużymy się techniką analizy wariancji. Resztową sumę kwadratów S_e obliczyliśmy już poprzednio i otrzymaliśmy wynik 0,02781; liczba stopni swobody wynosi (n-p - 1) = 82. Jeżeli hipoteza //₀ jest prawdziwa, to regresji odpowiada suma kwadratów

S_reg = S_)y -S_e = 0,12692 - 0,02781 = 0,09911 ,

a odpowiadająca jej liczba stopni swobody jest równa v = 3. Analizę sum kwadratów przedstawiono w poniższej tabeli.

Zauważmy, że iloraz wariancji z tablicy można łatwo obliczyć na podstawie wartości R² (kwadratu współczynnika korelacji wielokrotnej), n (liczebności próby) oraz p (liczby zmiennych niezależnych) za pomocą wzoru

286