IMGt46

154

m    wiadomości ż rachunku różniczkowego

całkowego

Dowód. 9(b)*g(a) na mocy twierdzenia RolIe'a. Przyjmując

•określamy na przedziale (a;b) funkcję <p, która spełnia założenia twierdzenia Rolle'a bo    oraz    ^

f(p) —f (a)

9(b)-g(_a)

Równość ę>'(£)=0 daje (7).

Dla funkcji g(x)=x wzór (7) sprowadza się do wzoru (6) z twierdzenia Lagrangc’a.

Twierdzenie Cauchy’ego formułuje się również ogólniej, jak następuje: Jeżeli IcR jest przedziałem, funkcje ciągłe fg: I->R są różniczkowane na zbiorze Int/\ {a}, gdzie ael, przy czym pochodna funkcji g nigdzie nie jest równa zeru, to dla każdego x e I\ {a} istnieje liczba $ taka, że

0<3<1 i llpt    f(a + &(x—a))

9(x)-g(a) g\a + &(x-a))

4. Reguły de L’Hospitala

Twierdzenie 7. Niech D=(a\ b) \ {x₀}, gdzie x₀ jest punktem skupienia przedziału {a; b) i niech f,g : D->R będą funkcjami różniczkowanymi. Jeżeli g'{x)ć 0 dla xeD oraz

lim/(x) = lim g (x)=0, +oo lub -od,

X-*Xo    x~*xo

to z istnienia granicy

(8)    lim ggl V,

*■•*0 9 (x)

wynika istnienie granicy

lim

3t-«*0

/(*)

^C'

Dowód. W pierwszym przypadku, gdy lim/(x)=0= lim g (x), dowód nie przedsta-

*-*xo «

wia trudności. Przyjmijmy f(x_o)*=g(x_o)=0, rozszerzając w ten sposób funkcje fi g na przedział D u {x₀}. Dla dowolnego ciągu (x„) punktów zbioru D mamy na mocy twierdzenia Cauchy*ego

gdzie    0<5,<1 i w konsekwencji    dla n=l, 2,...

Stąd wynika, że jeżeli x„-»x₀, to £«-**<> i wobec założenia (8) prawa strona równości (9) — a zatem i lewa strona — jest ciągiem zbieżnym do granicy c. Dowodzi to tezy twierdzenia.

■

fi 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych

Przejdźmy do drugiego przypadku. Niech lim g(x) = + oo i

x-*xo

₀₎    ip

x~*xoQ (X)

Udowodnimy, że jeżeli x_Q>a, to

r    a

lim ——=0.

_L X-^3CO— 9 (X)

Dla danej liczby e>0 z naszych założeń wynika istnienie takiej liczby xe(a, x₀), że

|/'00

\g (x)

1

<—e dla

2

X<X<X₀.

Niech teraz a <x_n<x₀ (n=l, 2,...) i x_n-*x₀. Istnieje N_t takie, że x_n>x dla n>N±. Mamy

:,)_/(*) ₁/(x_H)-/( X)/    g(x)\

Q 9{x„) g(x_n)-g(x)\ g(x_n)J

^ | . '    /OO /(x) .

9(x,

Na mocy twierdzenia Cauchy’ego

/0C„)-/(X) _/'(£„)

9(,x„)-g(x) gXZ_n) ’

gdzie (dla n>Nj) x<£_n<x₀, więc z (12) wnosimy, że

/0O-/(*) I 1

<— e.

W takim razie z (13) dostajemy

g(x„)-g(x)

|/(*J| J/(*>	1
\g(xH)\ '[*(*»)	2

1-

g(x)\

g(x_H)\

dla n>N_x. Ponieważ prawa strona jest ciągiem zbieżnym do ie, więc ostatecznie stwierdzamy, że istnieje AT takie, że dla w > AT jest \f(x_H)/g(x^\<e. W ten sposób dowiedliśmy (11).

Podobnie dowodzi się, że jeżeli x₀<b₉ to lim (f(x)/g(x))=0.

*■**0 +

A więc w przypadku gdy lim^(x)= -ł-co (założenie, że lim/(x)=+oo, nie było do

X~*XQ    X-*XQ

tej pory wykorzystywane), teza twierdzenia jest prawdziwa dla c=0. Stąd wynika jej prawdziwość dla dowolnego ce R, bo

9(x)

9 W

> gdzie f\(x)=f(x)-cg(x)

oraz

lim ® =lim

x-*Xa 9 (X)    x-**o \9 (X)    /