IMGt42

146 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego

3. Podstawowe reguły różniczkowania. W sformułowanych niżej twierdzeniach D i r są podzbiorami przestrzeni liczb rzeczywistych R, litery Y, Y_t, Z oznaczają pewne _pr2e. strzenie unormowane nad ciałem skalarów K.

Twierdzenie 3. Jeżeli funkcje f g: D-* Y są różniczkowalne w punkcie a e D, to funkcje f+g i f—g też są różniczkowalne w punkcie a oraz

(/+ 9)' («) =/'(<*)+g'(a),    (/- g)' {a) =f'(a) - g\a).

Jeżelifunkcje fig są różniczkowalne, to funkcje f+g i f—g też są różniczkowalne oraz if+gY^f+g’, U-g)'=f'-g' •

Dowód. Ponieważ

(f±g)(x)-(f±g)(a) f(x)-f(a) . g(x)-g(a)

-- =--f.----—,

x—a    x—a    x—a

więc pierwsza część twierdzenia wynika z twierdzenia o granicy sumy i różnicy.

Druga część twierdzenia jest wnioskiem z części pierwszej.

Twierdzenie 4. Jeżeli funkcje f: D-*K i g: D-+ Y są różniczkowalne w punkcie aeD, to funkcja fg też jest różniczkowalna w punkcie a oraz

(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f {a)g'(a).

Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne, to funkcja fg też jest różniczkowalna oraz

Dowód. Pierwsza część twierdzenia jest wnioskiem z równości

(fg)(x)-(fg)(a) f{x)-f{a)    g(x)-g(d)

-r——-— -g(x)+f(a)-•

x-a    x-a    x—a

oraz z ciągłości funkcji g w punkcie o, która jest konsekwencją jej różniczkowalnoścl w tym punkcie.

Druga część twierdzenia wynika z pierwszej.

Z twierdzenia 4, uwzględniając, że funkcja stała ma pochodną równą zeru, otrzymujemy natychmiast

Twierdzenie 5. Jeżeli funkcja f: D-+ Y jest różniczkowalna w punkcie aeD, to dla każdej liczby ke K funkcja kf jest różniczkowalna w punkcie a oraz

If)\a)=kfXa).

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna, to funkcja kf też jest różniczkowalna oraz

(kfy=kfi.

Twierdzenie 6. Jeżeli funkcje f: D-+Y i g: D-* K są różniczkowalne w punkcie aeD i g(x)¥>0 dla każdego xeD, tojunkcjof/gjest różniczkowalna w punkcie a oraz

/ f Y . . f'{o)g{a)—f (d)g\a)

(8)

Lilii m

Jeżeli funkcje fig są różniczkowalne, to funkcja fig też jest różniczkowalna oraz

\0/    9²

Dowód. Ponieważ

(l/g)(x)-(l/g)(a)_ _ g(x)-g(a)    1

x—a    x-a g{xjg(a)

więc uwzględniając ciągłość funkcji g w punkcie a otrzymujemy

Wzór (8) wynika z (9) i twierdzenia 4, bo //g jest iloczynem l/g przez f Druga część twierdzenia jest wnioskiem z części pierwszej.

Twierdzenie 7. Jeżeli funkeja f: D-*Y jest różniczkowalna w punkcie aeD, to dla każdej funkcji (p eL{Y\ Z) funkcja <p o f jest różniczkowalna w punkcie « oraz

(p o/y (a) =?(/'(«)) •

Jeżeli f jest funkcją różniczkowalną, to (po f jest funkcją różniczkowalną oraz

(<pof)' = <pof'.

Dowód. Wystarczy dowieść pierwszej części twierdzenia. Jest ona wnioskiem z równości

(P o/)(*)-(? o/)00    //(x)-/(a)\

x—a    \ x—a /

i z ciągłości funkcji ę.

Twierdzenie 8. Jeżeli f: D-+E jest funkcją różniczkowalną w punkcie aeD oraz g: E-* Y jest funkcją różniczkowalną w punkcie b —f (a), tog o f jest funkcją różniczkowalną w punkcie a oraz

(10)    (0o/)'(a)=s'(*)/'(a).

Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne_t to g o / jest funkcją różniczkowalną oraz (gof)'=(g' o/)/'.

Dowód. Niech

g(y)-g(b)

fiCy)-\ y-

lo

g'm

dla

dla

Wtedy

yeE\{b}_t

y—b.

9(y)-9(b)*=g\b){y-b)+e(y){y-b).

Podstawiając y=/(x) i uwzględniając, że b—f (a), dostajemy

dl)

(g o/)00-(g    _|

x—a

x—a

x—a