36945 MATEMATYKA077

146 III Rachunek różniczkowy

(4.3) f(x) * f(0) + yrf'(0)x +    f "(0)x^J +• • • + -—I— f⁽" ^,>(0)x"-'.

1!    Z!    (n -1)!

przy czym błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy |R_n(x)|.

Jeżeli wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone na

rozpatrywanym otoczeniu U, czyli

|f"’⁾(x)|S M dla neN i xeU,

to

|R,(x)l=l^f^<n>(ex)x"|sM|x|".

Stąd wynika, że

lim R_n(x) = 0 dla x eU.

n-^»

Stosując w tym przypadku wzór przybliżony (4.3) mamy pewność, że dla większego n uzyskujemy większą dokładność przybliżenia. Co więcej, wybierając dostatecznie duże n we wzorze (4.3) możemy obliczyć wartość funkcji z dowolną dokładnością

Za pomocą tego wzoru obliczamy przybliżone wartości wielu funkcji np. trygonometrycznych, hiperbolicznych i budujemy tablice ich wartości.

PRZYKŁAD 4.5 Napiszmy wzór Maclaurina dla funkcji f(x) = e\

Ponieważ f^<k,(x) = e*, f^<k,(0) = l, f"”(6x) = e^9>,

więc

^e* ^{1 +} +    - ⁺óS)T ⁺ f7'^(h. *_eR. »*N,

gdzie 0 jest pewną liczbą z przedziału (0,1), Stąd dla x = 1 mamy:

^c    - ⁺(S^F^*^e’ ^n€N' ^6e(0-^1>

Przyjmując n - 8 otrzymujemy

C« t+-y+Jy+•••+•—*²,⁷¹ 8Ż,

przy czym błąd R_s = -ic⁰ < 0,0001.

W ten sposób, przyjmując odpowiednio duże n, można obliczyć wartość e z dowolnie dużą dokładnością, gdyż błąd

^R"⁼li!^e8<ni ^->0 P^y-*⁰⁰

Uwaga Korzystając os wzoni

łatwo wykazuje się, że e jest liczbą niewymierną:

c

Przypuśćmy, że c jest liczbą wymierną Niech c -    (c, m - liczby naturalne)

i niech n>ntax(3.m). Wówczas, mnożąc obie strony tego wroni przez (n — I)! otrzymujemy

¹

⁺Tr-\_n-.>'

Lewa strona tej równości jest liczbą całkowitą, a prawa - jest sumą liczby całkowitej i

_co

liczby niecałkowitej (1 < e^B < 3, n > 3, więc 0 < — < 1 ) Sprzeczność ta oznacza, że przypuszczenie nasze było fałszywe. Liczba c jest liczbą niewymierną.    L

P R 2 Y K Ł A D 4.6 Dla funkcji f(x) = sin x istnieją pochodne dowolnego rzędu dla każdego x € R, przy czym

f⁽">(x) = sin(x + n|),f^<Jk)(0) = 0, f^{<2k ,,}(0) = (-!)“

Zatem, zgodnie z (4.2), dla każdego xeR i n E N otrzymujemy

,2k-l

gdzie

,2k

^R.,(^x) ⁼ 7^TTT^s‘ⁿ(®^x'^ł'*^C7C)’ gdy ⁿ⁼²^

<2k>!

lub

^Rn<X) =

,2kfl

sin(9x +

2k +1

7t), gdy n = 2k + 1,

(2k +1)!

Obliczymy teraz przybliżoną wartość funkcji sin x dla x = 1 z dokładnością do 0,001.