PRZYKŁAD 6.4
Zadanie
Mechanizm przedstawiony na rysunku składa się z trzech członów: cylindra hydraulicznego (1), tłoka z tłoczyskiem (2) i wahacza (3). Z tłoczyskiem sztywno związana jest okrągła tarcza o średnicy d i masie m2. Z wahaczem związana jest prostokątna płyta o bokach długości b i e oraz masie m2. Moment bezwładności tarczy' kołowej względem osi przechodzącej przez jej środek masy (G) i prostopadłej do płaszczyzny tarczy wynosi j(. = m2 d2/8 •
Moment bezwładności prostokątnej płyty względem osi
przechodzącej przez jej środek masy (H) i prostopadłej do płaszczyzny płyty wynosi J(. = mi (b2+e2)\2.
Zakładając, że masa elementów mechanizmu, za wyjątkiem tarczy i płyty, jest pomijalnie mała, policzyć siłę napędową działającą na denko tłoka w chwili, gdy / = 4 (m), i = 1 (m/s),1=2 (m/s2) • Siły ciężkości pominąć.
Dane: a = 3 (m), b = 5 (m), c = 1 (m), d = 1 (m), e = 2 (m), m2 = 120 (kg), m2 = 240 (kg).
Rozwiązanie
Plan rozwiązania jest następujący:
• Wyznaczymy przyspieszenia liniowe punktów G i H oraz przyspieszenia kątowe członów 2 i 3 (konieczne będzie rozwiązanie zadań kinematyki o położeniu, prędkości i przyspieszeniu).
• Obliczymy siły (i momenty sił) bezwładności, działające na tarczę i płytę.
• Ułożymy równania równowagi kinetostatycznej członów i rozwiążemy otrzymany układ równań, wyznaczając siły oddziaływania pomiędzy członami, a zatem także poszukiwaną siłę napędową.
Analiza kinematyczna
Pierwszy punkt przedstawionego planu postępowania odpowiada rozwiązaniu zadań kinematyki o położeniach, prędkościach i przyspieszeniach. Sposób rozwiązania tych zadań został przedstawiony szczegółowo we wcześniejszych rozdziałach.
• Zadanie o położeniach
Wektor a(0) = [a O]7 od punktu O do punktu A jest stały w układzie 7t0, wektor b1 = [b 0]7 od punktu A do punktu B jest stały w układzie n3. Wersor osi ruchu tłoka względem cylindra (stały w układzie 7t|) oznaczmy przez u(l>=[l O]7. Jako współrzędne stanowiące niewiadome w zadaniu kinematyki przyjmijmy pokazane na rysunku kąty obrotu członów 1 i 3 względem układu globalnego: q = |>, </>,]'.
Poszukiwane współrzędne spełniają równanie zamkniętego wieloboku wektorowego:
ft>(ą,l) = l R,u(1) — a(0) - R3b<3) = 0 - (a)
Równanie (a) jest mało skomplikowane - można rozwiązać je analitycznie (można też numerycznie, szczególnie że macierz Jacobiego i tak będzie wyznaczana, gdyż jest potrzebna w dalszych obliczeniach). Rozwiązywanie zaczniemy od przepisania równania (a) w postaci dwóch równań skalarnych i odpowiedniego ich uporządkowania:
lcosęi-a = bcosęJ ^)
/ sin ęo, =6 sin
Podnosząc do kwadratu i dodając stronami powyższe równania uzyskujemy następujący związek (zwany twierdzeniem kosinusów):
l2 +a2-2/acosę), = b2- (c)
Stąd łatwo wyznaczamy <pt:
<P\
f
= arccos
\
l2 + a2-b2\ 21 a
20
Prawa zastrzeżone © J. Frączek. M. Wojtyra. Kopiowanie bez zgody autorów zabronione