km3 2
9

PRZYKŁAD 6.4

Zadanie

Mechanizm przedstawiony na rysunku składa się z trzech członów: cylindra hydraulicznego (1), tłoka z tłoczyskiem (2) i wahacza (3). Z tłoczyskiem sztywno związana jest okrągła tarcza o średnicy d i masie m₂. Z wahaczem związana jest prostokątna płyta o bokach długości b i e oraz masie m₂. Moment bezwładności tarczy' kołowej względem osi przechodzącej przez jej środek masy (G) i prostopadłej do płaszczyzny tarczy wynosi j₍. = m₂ d²/8 •

Moment bezwładności prostokątnej    płyty    względem osi

przechodzącej przez jej środek masy (H) i prostopadłej do płaszczyzny płyty wynosi J₍. = m_i (b²+e²)\2.

Zakładając, że masa elementów mechanizmu, za wyjątkiem tarczy i płyty, jest pomijalnie mała, policzyć siłę napędową działającą na denko tłoka w chwili, gdy / = 4 (m), i = 1 (m/s),1=2 (m/s²) • Siły ciężkości pominąć.

Dane: a = 3 (m), b = 5 (m), c = 1 (m), d = 1 (m), e = 2 (m), m₂ = 120 (kg), m₂ = 240 (kg).

Rozwiązanie

Plan rozwiązania jest następujący:

•    Wyznaczymy przyspieszenia liniowe punktów G i H oraz przyspieszenia kątowe członów 2 i 3 (konieczne będzie rozwiązanie zadań kinematyki o położeniu, prędkości i przyspieszeniu).

•    Obliczymy siły (i momenty sił) bezwładności, działające na tarczę i płytę.

•    Ułożymy równania równowagi kinetostatycznej członów i rozwiążemy otrzymany układ równań, wyznaczając siły oddziaływania pomiędzy członami, a zatem także poszukiwaną siłę napędową.

Analiza kinematyczna

Pierwszy punkt przedstawionego planu postępowania odpowiada rozwiązaniu zadań kinematyki o położeniach, prędkościach i przyspieszeniach. Sposób rozwiązania tych zadań został przedstawiony szczegółowo we wcześniejszych rozdziałach.

• Zadanie o położeniach

Wektor a⁽⁰⁾ = [a O]⁷ od punktu O do punktu A jest stały w układzie 7t₀, wektor b¹ = [b 0]⁷ od punktu A do punktu B jest stały w układzie n₃. Wersor osi ruchu tłoka względem cylindra (stały w układzie 7t|) oznaczmy przez u^(l>=[l O]⁷. Jako współrzędne stanowiące niewiadome w zadaniu kinematyki przyjmijmy pokazane na rysunku kąty obrotu członów 1 i 3 względem układu globalnego: q = |>, </>,]'.

Poszukiwane współrzędne spełniają równanie zamkniętego wieloboku wektorowego:

ft>(ą,l) = l R,u⁽¹⁾ — a⁽⁰⁾ - R₃b^<3) = 0 -    (a)

Równanie (a) jest mało skomplikowane - można rozwiązać je analitycznie (można też numerycznie, szczególnie że macierz Jacobiego i tak będzie wyznaczana, gdyż jest potrzebna w dalszych obliczeniach). Rozwiązywanie zaczniemy od przepisania równania (a) w postaci dwóch równań skalarnych i odpowiedniego ich uporządkowania:

lcosę_i-a = bcosę_J    ^)

/ sin ęo, =6 sin

Podnosząc do kwadratu i dodając stronami powyższe równania uzyskujemy następujący związek (zwany twierdzeniem kosinusów):

l² +a²-2/acosę), = b²-    (c)

Stąd łatwo wyznaczamy <p_t:

<P\

f

= arccos

\

l² + a²-b²\ 21 a

(d)

20

Prawa zastrzeżone © J. Frączek. M. Wojtyra. Kopiowanie bez zgody autorów zabronione