km3 2
0

PRZYKŁAD 6.1

Zadanie

Na rysunku a) pokazano mechanizm płaskiego czworoboku przegubowego. Znane są wymiary członów mechanizmu oraz kąt obrotu, prędkość i przyspieszenie kątowe korby. Wiadomo, że mechanizm napędzany jest momentem M_r przyłożonym do korby.

Należy obliczyć wartość tego momentu oraz siły reakcji w parach kinematycznych. Środki mas członów znajdują się w ich środkach geometrycznych. Sity grawitacji należy pominąć.

Dane:

•    długości członów: l₀ = 0.4 (m), = 0.2 (m), l₂ = 0.56 (m), l₃ = 0.4 (m),

•    masy członów: m_] = 1 (kg), m₂ = 6 (kg), m₃ = 2.5 (kg),

•    momenty bezwładności względem osi prostopadłych do płaszczyzny ruchu, przechodzących przez środki mas: J_C) = 0.1 (kgm²), J_Cl = 0.25 (kgm²), J_Cj = 0.15 (kgnr),

•    parametry kinematyczne korby (człon 1): ę_x=ę = ttjA (rad), <p_} =<p = 20 (rad/s), <p_{ =<p = 20 (rad/s²).

Rozwiązanie

Zadanie rozwiążemy w kilku kolejnych krokach.

Analiza kinematyczna

Jeśli dany jest kąt obrotu korby (1) oraz jego pochodne względem czasu (pierwsza i druga), to można wyznaczyć zarówno kątowe jak i liniowe położenia, prędkości i przyspieszenia łącznika (2) i wahacza (3). Wymaga to jednak rozwiązania zadań kinematyki. Rozwiążemy zatem kolejno zadanie o położeniach, prędkościach i przyspieszeniach.

Z każdym z członów zwiążemy układ odniesienia w sposób pokazany na rysunku. Człony mechanizmu tworzą jedna pętlę. Równanie tej pętli ma postać:

- u/₀ + R,u/, + R₂u/₂ + R₃u/₃ = 0_2<],    (a)

gdzie R, oznacza macierz kosinusów kierunkowych:

- sin ę_t

»

cos ę_t

R =

cosę>

sing>, a u jest wersorem kierunkowym osi x: u = [l Of .

Równanie pętli kinematycznej (a) jest wektorowym, nieliniowym równaniem algebraicznym o trzech zmiennych <p_u (fh i ę₃. Ponieważ jednak wartość kąta q>\ = <p została zadana, nie są znane jedynie wartości i (fo. Oznaczmy niewiadome przez q = [</, q₂f = [^2 ĆhF- W takim razie równanie (a) można zapisać w postaci:

^<*^,(q^)=    ^{+ R}i^u/i + ^R2^u/2 + ^r?^u/3 = °₂xi •    (^b)

Jest to układ dwóch nieliniowych równań algebraicznych z dwiema niewiadomymi, który można rozwiązać numerycznie metodą Newtona-Raphsona. Macierz Jacobiego ma postać:

4>,=^ = [nR₂u/₂ HR_;U /,]•    (c)

11

Prawa zastrzeżone © J. Frączek, M. Wojtyra, Kopiowanie bez zgody autorów zabronione