m299

Ułam

299

cemu punktowi p tej przestrzeni trójkę t *3) taką, że op =x_lv_i +x₂v₂ + x₃v₃,

0    przestrzeni jest wybranym początkiem 1. a wybrane wektory i\, t*₂, t?₃ są linio-lezależnymi wektorami tej przestrzeni, li współrzędnych k. u. w. w przestrzeni są wyznaczone przez punkty o i 0+ »,, o i o-+ v₂

>    i o-r r₃ (rys. 4b). Jeżeli wybrana baza rowa jest ortonormalna, to k. u. w. nazy-\ — prostokątnym układem współrzęd-Osie prostokątnego układu współrzędne -o siebie prostopadłe. K. u. w., którego t s- prostopadłe, nazywa się ukośnokąt-khdem współrzędnych.

j współrzędnych biegunowych, odwzo-k rożnowartościowc przyporządkowujące nemu punktowi p płaszczyzny zorien-t różnemu od wybranego punktu o tej zyzny, zw. biegunem układu, parę liczb zstjc r = op. zaś (p_y 0 ^ (p < 2tc, jest miarą sfc erowanego dodatnio zorientowanego ego między półprostą o początku o. zw. ieg-jnow^ą i półprostą op". U. w. b. można cresiić przyjmując, że </?e(a;a+ 27i), dla

r ~ ustalonej liczby o. Wektor op nazywa ktorem wodzącym punktu p, a jego dłu-- promieniem wodzącym punktu p. Prosi wodzącym jest nazywany także odcinek

p c est amplitudą punktu p (rys. 5).

1    współrzędnych walcowych, odwzoro-r mowartościo we przyporządkowujące Demu punktowi p przestrzeni, położonemu określoną prostą L prostopadłą w pun-

dc wyróżnionej w tej przestrzeni płasz-r P gdzie punkt o jest biegunem okreś-

>    2;a płaszczyzny P układu współrzęd-łiegunowych), trójkę liczb (r, y,x); (r, y) są rzędnymi biegunowymi rżutu prostokąt-i rurki u p na płaszczyznę P, a x jest laką . że p p= xv. gdzie v jest wersorem osi L

I

[    pół rzędnych sferycznych, odwzoro-

rożnowartościowe przyporządkowujące Lr.emu punktowi p przestrzeni zorientowa-oiożonemu poza określoną prostą L pro-riłą w punkcie o do wyróżnionej w tej rzeni płaszczyzny P (gdzie punkt o jest ne .. określonego dla płaszczyzny P ukła-Przędnych biegunowych), trójkę liczb

-; jest długością odcinka op, r = op, y jest ludą rzutu prostokątnego p' punktu p na rzyznę P. a 0 jest miarą kąta skiero-łc dodatnio zorientowanego o ramionach

op ~ (rys. 7).

łrzędne punktu, liczby przyporządkowali mu punktowi przez układ współrzęd-ten sam punkt może mieć różne współ-e w różnych układach współrzędnych

Rys. 5. Układ współrzędnych biegunowych; op wektor wodzący punktu p: <p - amplituda punktu p.

I

Rys. 6. Układ współrzędnych Rys. 7. Układ współrzędnych walcowych.    sferycznych.

Rys. 8. Układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie. Współrzędnymi kartezjańskimi punktu p są liczby (3, 1), ponieważ op = 3», +v₂, współrzędnymi punktu q liczby - 2 j. zaś punktu r liczby (    1,-1).

Rys. 9. Współrzędne punktu p w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni. Współrzędnymi prostokątnymi punktu p są liczby (1, 3, 2), ponieważ

op — v i +3v₂+2v₃.

[zob. transformacja układu współrzędnych]. W. p. w kartezjańskim układzie współrzędnych nazywa się współrzędnymi kartezjańskimi, a w prostokątnym układzie współrzędnych — współrzędnymi prostokątnymi. Jeżeli w danym kartezjańskim układzie współrzędnych punkt p ma współrzędne (x₁,x₂,x₃), to fakt ten zapisuje się często w postaci p = (x₁,x₂,x₃). Współrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie nazywa się tradycyjnie odciętą i rzędną punktu (rys. 8, 9). W. p. w układzie współrzędnych biegunowych nazywa się współrzędnymi biegunowymi, z których jedna jest amplitudą, a druga promieniem wodzącym. W. p. w układzie współrzędnych walcowych nazywa się współrzędnymi walcowymi, a w. p. w układzie współrzędnych sferycznych — współrzędnymi sferycznymi (rys. 10). Jeżeli (r.ffjyO) są współrzędnymi sferycznymi punktu p, to r nazywa się często promieniem wodzącym, zaś y i 0 długością i szerokością geograficzną punktu p na sferze S o promieniu r i środku w początku układu współrzędnych. Parę liczb (y>,0) nazywa się też współrzędnymi geograficznymi punktu p na sferze S.

I lam Stanisław Marcin, ur. 1909, zm. 1984, matematyk amer. pochodzenia poi. W pierwszych latach działalności naukowej był związany z lwowską szkołą matematyczną stworzoną przez S. Banacha i H. Steinhausa. W czasie II

M= i

oif = 2

Rys. 10. Współrzędne punktu q w układzie współrzędnych walcowych i sferycznych. Punkt q ma współrzędne walcowe

rzędne sferyczne

natomiast współ

S. M. Ułam.