Mechanika ogolna0062

124

Przykład 16

Stosując kryterium Dirichleta, określić położenie równowagi statycznej masy zawieszonej na sprężynie (rys. 72), jeżeli ruch masy odbywa się wokół położenia równowagi statycznej masy.

Założymy, że masa może przemieszczać się na kierunku osi x. Siły na nią działające to siła reakcji sprężyny i siła ciężkości masy. Te siły są siłami pola poten-cjonalnego, czyli ruch masy odbywa się w polu potencjalnym.

Określimy potencjał układu:

V = V,+V₂,

gdzie: V_l =—k • A² - potencjał sprężyny,

A = Z_s + x - deformacja sprężyny:

Z_s - statyczna deformacja sprężyny, x - deformacja sprężyny wynikająca z ruchu masy,

V₂ = -m-g-h- potencjał masy w polu ziemskim przy założeniu, że poziom porównawczy przyjęto dla x = 0.

Tak więc:

V = -^k(Z_s +x)² -mg-x = V(x).

Szukamy minimum potencjału, tzn. szukamy minimum funkcji V. Stosujemy znane z matematyki postępowanie określania minimum funkcji:

Z_s = —^ to statyczna deformacja sprężyny, k

Sprawdzamy czy w położeniu tym V = min, czyli:

g²V

5x²

x=0

= k > 0, a więc określone położenie masy jest położeniem, w któ

rym potencjał osiąga wartość minimalną.

Ostatecznie mamy, że w położeniu równowagi statycznej sprężyna jest zdeformowana o - mówimy, że jest ona wstępnie napięta.

4.2.7. Zasada zachowania energii mechanicznej

Zjawisko ruchu układu zawsze można opisać, stosując zasadę równowartości energii kinetycznej i pracy, czyli:

E_n “Ej =L,__n.

Jeżeli pracę wykonują tylko siły pola potencjalnego, to:

Li-n=V₁-V_IIS

wówczas:

En ~ Ej = Vj — V_n.

Wyrażenie to możemy zapisać jako: E_n + V_n =E, + V,.

Wielkość E + V = H nazywamy energią mechaniczną lub energią całkowilą lik ładu, czyli z powyższego zapisu wynika, że:

11, =H_n =const.