P1050320

Struktura ilościowa tek u u skończonego m

Dokładna realizacja tego programu jest niemożliwa, ponieważ wymagania, aby wysokości były równe liczbom całkowitym i aby powierzchnie ich były równe, są sprzeczno: oba te wymagania można spełnić tylko dla jakiegoś jednego skoku. Program ten jednak można zrealizować „prawie całkowicie”, rezygnując albo z wymagania dokładnej równości pola powierzchni pod hiperbolą i pola powierzchni pod figurą skokową, albo z dokładnej równości podstaw skoków i podstaw figur krzywoliniowych, na które rozbijamy powierzchnię pod hiperbolą.

Obecnie nic ma ani matematycznych, ani opisowych dowodów, które pozwoliłyby wybrać jeden z wariantów przybliżenia hiperboli funkcją skokową. Sposób, opisywany niżej, jest zorientowany na maksymalnie dokładne oddanie charakteru zmiany hiperboli — struktury ciągle wzrastających przedziałów, w których przyjmuje ona wartość bliską danej liczbie całkowitej — ale związany jest z pewną „stratą” powierzchni, którą możemy oszacować.

Rozbijmy obszar wartości funkcji f, na odcinki o granicach /?, />+/, fi+2, ... i przeprowadźmy przez podane punkty proste równoległe do osi odciętych. Rzutujmy punkty przecięcia tych prostych z hiperbolą na oś odciętych i ponumerujmy powstałe odcinki. Numer 1 otrzyma odcinek leżący między obrazami punktów § i p'+/,    i    numer 2 — odcinek leżący między f~'(P+l)

i +2) itd. Powstałe odcinki odpowiadają oczywiście tym przyrostom argumentu, które powodują zmianę funkcji/, o 1. Długość odcinka z numerem / oznaczmy/*;. Łatwo zauważyć, iż

^(fi+W+i-i)    I |j

W ten sposób długość odcinka maleje wraz z jego numerem. Rozpatrzmy tylko odcinki, których długość /i, > 1. Można przekonać się, że wszystkie takie odcinki leżą na prawo od punktu a.

W ten sposób hiperbola/, generuje dwa systemy liczb: dla n < a (n będziemy interpretowali jako rangę) jest to zbiór częstości/,, dla n > a są to długości odcinków /*;, gdzie wartość funkcji zmienia się od p+i—1 do /?+/, Można sprawdzić, że otrzymany zbiór liczb spełnia te same wymagania, co zbiór liczb tworzących prawidłową strukturę leksykalną (zob. wyżej), z wyjątkiem tego, że liczby generowane przez hiperbolę nie muszą być liczbami całkowitymi.

Kryterium zestawiania funkcji skokowej i struktury leksykalnej jest oczywiste: funkcja/p zadana na odcinku [/, jV] opisuje daną strukturę leksykalną słownika o N wyrazach, jeżeli dla każdego/_n~ F_m i dla każdego /i,~ m_t (gdzie ~ oznacza równość części całkowitych). Z równości tych wynika stosunek między długością tekstu i jej ciągłym analogiem

W

A == J f(t)dt — a Iii N

i

’ Oczywiście — N.