Skan7

Untersuchung von Funktionen

Extremstellen. Extremwerte.

a,b

/(*,),/(* 3)

f(a),f(x₂),f(x_t)

m

/(*<)

Randstellen von I lokale Maxima lokale Minima globales Maximum globales Minimum

Vergleicht man den Funktionswert /(x₃) mit benachbarten Funktionswerten, dann erkennt man, dass alle von ihnen in einer gewissen Umgebung von x₃ kleiner ais /(x₃) sind. Wir sprechen hier von einem lokalen oder relativen Maximum. Das Gegenteil davon ist das Verhalten der Funktion in der Umgebung von ffaĄ.

Deflnition: Sei/auf dem Intervall I=<a;b> definiert und gebe es eine „punktierte Umgebung U*(x₀), so dass fur alle xeV*(x₀) gilt

f(x) > f(x₀) f(x) <f(x₀),so heiBt f(x₀): lokales Minimum    lokales Maximum

Lasst man das Gleichheitszeichen nicht zu, d.h.

/(x) > /(x₀)    /(x) < /(x₀) , dann nennt man /(x₀) :

eigentliches lokales Minimum eigentliches lokales Maximum

Der Punkt P (x₀; /(x₀)) heiBt

Tiefpunkt    Hochpunkt

Haty(x) bei x₀ ein Maximum oder ein Minimum, so nennt man sie auch Extremwerte oder kurz Extremum. Die Stelle x₀ heiBt dagegen Extremstelle (auch Extremalstelle) und insbesondere Maximal- bzw. Minimalstelle. Der Zusatz „lokal“ soli betonen, dass /(x₀) nur mit benachbarten Funktionswerten verglichen wird d.h. aus einem passenden U*(x₀). Dies schliefit nicht aus, dass arr| anderen Stellen /(x) > /(x₀) bzw. /(x) < /(x₀).

Sollte sich zeigen, dass z.B. /(x) > /(x₀) fur alle x e I \ (x₀}, dann sagt man, dass /(x₀) ein globales (absolutes) Maximum in I hat.

Aufgabe: Welche Extremstellen und Extremwerte haben folgende Funktionen. Um welche Art von Extremwerten handelt es sich?

n

a)/(x) = cosx,I =<> b) f(x) = 1 + sin² x,I =<0;2^r > c)/(x) =| x-2 |,I =< 1;5 > d) f (x) =| 2x - 61 -1 x -11,1 =< 0;5 > e*) /(x) = xe^x, I =< -2;0 >