Skan

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in der die Extrema der Funktion f(x,y) (1) gesucht werden. Durch Einsetzen von (2) in (1) ergibt sich die Funktion

(4)

f(x) = -j2-y]x(r-x), 0 < jc <r,

die nur von der Veranderlichen x abhangig ist. Ihre Extremstellen werden also wie bei Funktionen einer Veranderlichen mit anhand der Bedingung des Nullwerdens ihrer Ableitung nach x ais der notwendigen Bedingung gefunden. Dies liefert

r-2x

2 ^x(r - x)

= 0

(5)

Das Auflosen der Gleichung (5) nach x ergibt die Nustelle der ersten Ableitung

r

(6)

Durch Einsetzen von (6) in die zweite Ableitung

/"(*)

1

x(r - x)

2-yjx(r - x) + (2x - r) , ^{r X}= y]x(r-x)

f"(x₀)< 0    (7)

Stellt man fest, dass f(x) (4) bei x₀

r

— ein Maximum hat und 2

r

(8)

Anschaulich gesprochen haben wir das Extremum des halbfett gezeichneten Graphen (Fig.8.) gefunden, der ais schnitt der Flachę f(l) mit der zur z-Achse parallelen Ebene (2) entsteht.

Beispiel fur die Suche nach Extremwerten im kompakten 2-dimensionalen Bereich

Gegeben sei die Funktion

f(x,y) = x²y(4-x-y), (x,y)e R²    (9)

Es werden die Extremwerte dieser Funktion in dreieckigen Bereich D, der von der Geraden eingeschlossen wird x-l, y~^ y = 6-x, gesucht (Fig.8.)