Skan2
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Der Mittełwert einer Funktion
Im alltaglichen Leben kommt man mit solchen Begriffen wie mittlere Monatstemperatur, mittlerer Luftdruck, mittlere Geschwindigkeit in Beruhrung. Was ist darunter zu verstehen?
In allen diesen Fallen handelt es sich um eine zeitabhangige Funktion f(t).
Im Elementarkurs der Mathematik wird die mittlere GróBe der Schiiler so berechnet, dass man ihre GróBen zueinander addiert und das Ergebnis durch die Zahl der Schiiler dividiert. Betrachten wir die Tagestemperatur, dann haben wir mit einer stetigen Funktion f(t) zu tun. Im ersten Schritt begnugen wir uns mit der arithmetischen Definition des Mittelwertes und lesen die Temperatur am Thermometer zu vollen Stunden ab. Der Mittełwert dieser Anzeigen betragt
/(l)+/(2)+.„ + /(24)
24
wobei f (2) die Temperatur um 2 Uhr bedeutet. Wie es bei der bestimmten Integration ublich ist wird das Intervall <a, b> in
Teilintervalle durch die Stiitzpunkte
b — a, , ^ , _
tk=to+-k , k = 0,1,2,...,/!
zerlegt. Die Zerlegung ist also aquidistant mit
b-a
n
on =
b-a
und der Mittełwert der Temperatur wird folgendermaBen berechnet
/(l) + /(2)+... + /(») |/(l) + /(2) + ■ ■ ■ + /(»)R
J m v
Beachtet man, dass /(l) = /(/,) und f{k)~ f(tk) ist und fuhrt man den Grenzubergang n-+ oo durch, so ergibt sich
b-a
n___
k=1
Fig.4. Tagestemperatur (3)
v
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