Skan(

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Definition 3. Sei w=f(x,y,z) an der Stelle (x₀,_y₀,z_n) differenzierbar. Unter dem Gradienten der Funktion f bei (x₀, y₀, z₀ ) versteht man den Yektor

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Def

grad f(x₀,y₀) =

df,    _s df,    , df,

— (x₀,y₀,z₀), —(x₀,y₀,z₀), —(x₀,y₀,z₀) ox    oy    dx

(16)

Die Formel (15) lasst sich mit Hilfe der Definition (16) ais skalarehs Produkt folgendermaBen hinschreiben

df

—-grad/ov

dv

(17)

Aufgabe 3. Ermittle nach Definition die Richtungsableitung folgender Funktionen in gegebenen Punkten und Richtungen

a )f(x,y) = Jx²₊y\ (x₀,y₀) = (3,4), v = (^-,E

2 2

b) nx,y) = e"¹’, (x₀,y₀) = (l,2), v = (^y,~);

c)    f(x,y) = sin y, (i.:,,>',.) = (2,^), v = (i - fy

d)    f{x,y,z) = e^Axxⁱcos3z, (x₀,y₀,z₀) = (1,2,^), v = (i

e)    f(x,y,z) = x²yz², (x₀,y₀,z₀) = (1,2,1), v = (i^-,-Ą.

Z* Z, jL

Aufgabe 4. Bestimme anhand der Formel (15) die Richtungsableitungen folgender Funktionen in gegebenen Punkten und Richtungen

a)    f{x,y) = e^x2V, (x₀,y₀) = (1,2), v =

b)    f(x,y) = Iny]x + 2y,    (x₀, j₀) = (1,1), v = (^-,^);

c)    /(x.y,z) = arcsin^, (x₀,,y₀,z₀) = (1,1,1), v = (^,^,-Ą.

2yz    4 4    4

d)    f(x.y,z) = e^xy\nz, (x₀,^₀,z₀) = (1,1,2), v = (l,i,^).

Geometrische und physikalische Deutung des Gradienten

1.    Der Gradient einer Funktion w = f(x,z,y) ist ein Vektor, der in Richtung der schnellsten Zunahme dieser

Funktion hinweist.

2. Der Gradient an jedem Ort steht senkrecht auf der durch diesen Ort gehenden Flachę w = const.

Diese Eigenschaften sind unabhangig von der Wahl des rechtwinkligen Koordinatensystems. Ais Gefalle der Funktion w wird ein Vektor bezeichnet, der dem Gradient an Lange gleichkommt aber entgegengesetzt

gerichtet ist. In der Elektrostatik wird die elektrische Feldstarke E durch den Gradienten des Potentials <p(x, \. z) durch die Formel