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Pie Flacheninhaltsfunktion zur unteren Grenze a

Definition: Sei f eine stetige nichtnegative Funktion und S_a(x) fur jedes x > Oder Inhalt der Flachę unter dem Graph der Funktion f uber dem Intervall < a;x >, dann heifit S_a(x) Flacheninhaltsfunktion zur unteren Grenze a.

Satz: Sei f eine stetig nichtnegative Funktion.

Fiir die FlScheninnhaltsfunktion zur unteren Grenze a gilt

(l)Sj (*)=/(*)    © A_a(a) = 0

Den expliziten Beweis kónnen wir uns sparen. Die Bedingung (1) wird nSmlich wie bei S₀(x) nachgewiesen und (2) ist anschaulich klar. (1) lauft darauf hinaus eine Stammfunktion (unbestimmtes Integral) von (1) zu finden    tyj/y?

S'Jx) = \f{x)dx = F(x)+C

Bekanntlich gibt es unendlich viele Stammfimktiorf^on f (x), die sich um eine additive Konstantę unterscheiden. Die zweite Bedingung A_a (a) = 0 siebt aus der unendlichen Zahl von Stammfunktionen von f (x) die ais Flacheninhaltsfunktion zur unteren Grenze a geeignete Stammfunktion aus.

S„(*)=F(x)+C

S_a (a) = F(a)+ C = 0 => C = -f(a)

Hiermit folgt

S_a(x)=F(x)-F(a)

Satz: (Haupsatz Ober Flacheninhaltsfunktionen). Sei feine stetig'nichtnegativl''unktion und A_c(x) eine Flacheninhaltsfunktion zur unteren Grenze a. Sei F(x) eine beliebige Stammfunktion von f. Dann gilt fiir xZ0

Sg{^x)- F{x)-Fa