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werden neue Begriffe eingefiihrt.

Definition: Eine Zerlegung Z\ heiBt (echt) feiner ais eine Zerlegung Z2, wenn die Teilungspunkte von Z\ eine Obermenge der Teilungspunkte von Z2 bilden.

Die GróBe 5 = |Z| = max{|.^ - x_k__{|    ; k = 1,2,...,n} also die gróBte Lange ihrer Teilintervalle heiBt

Feinheit der Zerlegung (średnia podziału) oder Feinheitsgrad der Zerlegung.

In jedem der Teilintervalle <Xk-i;xk> wird ein beliebiger Zwischenpunkt £_k (Fig. 12.) gewahlt, zu dem der Funktionswert f(£_A) gehort (und auch Zwischenwert genannt wird). Ist Z eine Zerlegung von <a;b> und

ist x_k__i <%_k <x_k flir k=l,2,...,n, dann heiBt die Menge    eine Zwischenpunktauswahl oder auch

Belegung zur Zerlegung Z.

Definition: Der Ausdruck

S(f,z.,4.) = £/(&)**, 0)

k=1

heiBt Zwischensumme (Riemann-Summe) von f zur Zerlegung Z und Zwischenpunktauswahl £_w Definition (von Riemann): eine Funktion f:[a;b]^R ist genau dann Riemann - integrierbar, wenn

\f(x)<k = X\m^f(ą_kysx_k

a    k—I

existiert (2)

In Worten: Eine Funktion ist also genau dann Riemann - integrierbar, wenn fur alle Folgen von Zerlegungen Z„ von <a;b>, dereń Feinheit \Z_n\ gegen 0 geht und alle zugehorigeren

Zwischenpunktauswahlen £_n die Folgę der Riemann - Summę gegen ein und denselben Grenzwert strebt.

Dieser Grenzwert heiBt das (Reimann-) Integral von f(x) uber <a;b>. Es werden jetzt zwei Sonderfalle von (1) betrachtet. Wahlt man