str019

44

44

52._Pokażemy najpierw, że OT = OT (patrz oznaczenia w zadaniu 50). Oczywiście

Zauważmy, że D = 0 U £>, gdzie 0 € HJl, aDC-4uCgMi n[A U C) = 0. Zatem D G OT.

OT C OT. Niech Z G OT, więc Z = A U B, gdzie .4 € OT, B C_C G OT, p(C) = 0. Z zupełności miary p wynika, że B G OT, a stąd A U B 6 OT i OT C OT.

Z powyższych rozważań wynika, że Ji(Z) = p(.4 Ufl) = p(Z).

53.    Wskazówka: skorzystać z zadania 51 i zadania 52.

54.    Jeśli A G OT, to .4 = B UC, gdzie B G OT, C C D, p(D) = 0, więc B G OTj,

D G OTi i H\{D) = 0, czyli ,4 G OTi    oraz ~p(A) = p(B) =    pi(B) = pJA).

Jeżeli A € OTi, to A = B\ UCi,    gdzie Bi G OTi, C\    C Di    G OTj i    fii(Di)    ~    0.

Z założenia OTi C OT otrzymujemy, że B\ = B U Cj, Ci = Bp U C₃, przy czym B n Ci = 0, B G OT, B₀ G OT, C₂ C Di G OT, C₃ G Di G OT, p(.D₃) = p(ZJ₃) = 0. Łatwo widać, że p(Bo) = 0. Połóżmy C = Ci U C₃, D = Bp U Dn U D3. Mamy A = BUC, C C D, B,D G OT i    p(£) =_0. Stąd A    G OT    i /T,(A)    = pi(Br)    =

p_t(B) + Pi(C₃) = p(B) = JT(A). A    zatem OTi = OT i JTj    = p.

55.    a) Na podstawie wzoru (*) z zadania 14, dla dowolnego AC X

CC

CO

CO

CO

00

MA)* inf{p(B) : A C B, B G OT}.

Ponieważ

Niech A G OT_r wówczas bezpośrednio z definicji pj wynika nierówność p|j(A) 5:

Niech .4 C B, B G OT, to p(A) < p(B) i stąd p(A) < p|j(A). Otrzymaliśmy, że p£(A) = p(A) dla A 6 OT, co oznacza, że p|j(A) j«*Ł rozszerzeniem miary p.

b) Niech A G OT, niech B będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni A', a £ dowolną liczbą dodatnią. Na podstawie definicji p£ istnieje zbiór C G OT taki, że B C C i p(C) < pg(B) + e. Stąd otrzymujemy

/*o(B O A) + /*5(B - A) < p$(C O A) + p£(C - A)

= p(C n A) + p(C - A) = p(C) < pJ(B) + £•

Z dowolności £ wynika, że >

H’₀{B D A) + MB - A) < fil(B) dla dowolnego' B C.A.

A zatem A G OT₀, więc OT C OTo.

c) Niech A G OTo- Załóżmy najpierw, że p|j(A) < 00. Na podstawie zadania 16 istnieje zbiór Ao G OT taki, że A C Ao, pó(A) ⁼ M^o) i Ao — A G OT. Stąd mamy

Na.podstawie zadania 19, pj jest regularną miarą zewnętrzną.

mS(Ao - A) = mS(Ao) - MA) = 0.

Istnieje zbiór .4i € OT taki, że Ao — AC Aj, /i5(Ao — A) = /j(Aj) oraz zbiór D g ' taki, że A n Ai C O i fi’₀{A n A,) = /i(D).

Zauważmy, że p<|(.4 fi Ai) < #i(Ai) = ^5(^o — A) = 0, a zatem /i{D) = 0.

Zachodzi równość A = (Ao — Ai) U (A fi Aj).

Niech B = A₀ - Ai € OT, Ć = A fi Ai C D.

Otrzymaliśmy, że A = BUC, gdzie Bgl.CcD, ^(D) = 0w przypadku, gdy H‘₀(A) <oo.

Załóżmy teraz, że A G OT₀, A = U“=i A„, /zS(A„) < oo. Dla dowolnego n € N istnieje zbiór £_n 6 ® taki, że A„ C E_n i /ij(A„) = /j{C_n)- Zatem An B_n 6 OTo i n‘₀[AC\E_n) < oo, dla dowolnego n G N. Stąd na podstawie pierwszej części dowodu

c) dla dowolnego n G M istnieją zbiory B„, C„, D„ takie, że A D E„ = B_n U C_n, gdzie B„ g OT, C„ C D_n i /i(D„) = 0. Z powyższych związków mamy

n = l    n= 1

oo    CO    co    co

\jA_n=\J(AnE_n)={jB_nu{Jc

n»

n=l    n=l

gdzie

CO

U B_n G OT,

n=l

0O    00

U ^c U ^D*

n = 1    n = 1

/*( U ^Dn)⁼ °-

n = l

d)    Z punktu c) oraz zadania 50 wynika, że OTo = OT. Niech A G OTo, wówczas A = BUC, gdzie B G OT, C C D, /i(D) = 0. Stąd mamy /i(B) < /i₀(A) < /i(B) + n(D) = fi(B), więc /j₀(A) = /i{B) = jl(A), czyli /i₀ = fi.

e)    Niech A będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni X, Z założenia, że /r* jest regularna wynika, że istnieje zbiór B G OT taki, że A C B i

Z drugiej strony

M’(A) < p(B), więc m’(A) < pj(.4).

Stąd wynika, że /i' =

56. Na podstawie metody podanej w zadaniu 55 konstruujemy miarę zewnętrzną /rj. Dla dowolnego A C X

card(A),

oo,

gdy A jest zbiorem skończonym, gdy A jest zbiorem nieskończonym.

Zauważmy, że p5 jest miarą określoną na <r-ciele wszystkich podzbiorów X. Zatem /z₀ = pÓ 7^ #*• Udowodnimy, że /1 jest miarą zupełną. Niech B C A i /i(A) = O, więc card(.4) = O i stąd wynika, że A = 0, zatem B = 0, czyli B G OT. Na podstawie zadania 55, /i = /I. Zatem ^o ^ /?.