Strona0125

125

Po podstawieniu zależności (6.3) do (6.1) otrzymano:

(6.4)

A_l (&j +k₂—m_l co²)- A₂k₂ = 0 — A_xk₂ -j-^(a₂ ~m₂ój¹) = 0

Przez przyrównanie do zera wyznacznika charakterystycznego układu równań (6.1) otrzymano równanie częstości drgań własnych:

Aj + A₂ -/ttjćf?²)(A₂ -m₂ć9²)-A₂ =0

które po uporządkowaniu przybiera następującą postać:

A, + A₂ A₂

m

2

AjA₂

= 0

(6.5)

Z równania tego można obliczyć kwadraty częstości drgań własnych rozpatrywanego układu:

Aj + A₂ ^ A₂

m

m.

m

\²

A,A₂

(6.6)

2J

Wyznaczono w ten sposób dwa rozwiązania szczególne układu (6.2) w następującej postaci:

(6-7)

(6.8)

;r_n - A_uńn{co_lt^Jtę_l)_1> x_n = sin(z»₁f -h ^Zj) — A_u sin(u>j/ + <p,), x_ll=A_u sin^t + (p_x)

Pierwszy wskaźnik we wzorach (6.7) i (6.8) przy Ąj i x_& oznacza numer współrzędnej, drugi zaś numer częstości.

Ze wzorów (6.7) i (6.8) wynika, że x_u i x_2l zeruje się w tym samym czasie, tak samo jak ^_t2 i x₂₂. Stąd wniosek, że jeżeli układ wykonuje drgania harmoniczne w postaci własnej, wszystkie masy przechodzą przez położenie równowagi w tym samym czasie. Drgania harmoniczne w postaci własnej nazywano drganiami normalnymi. Uzasadnienie tej nazwy zostanie podane, gdy będzie omawiana interpretacja drgań własnych.

Każde rozwiązanie szczególne zawiera dwie stałe dowolne ę_x i ę₂ oraz jedną z amplitud Ą-, gdyż druga amplituda jest zależna od pierwszej. Z równań

(6.4) otrzymano stosunki amplitud, które nazywają się postaciami drgań własnych: