zdjecie0012

POWTÓRZENIE I UZUPEŁNIENIE WIADOMOŚCI DOTYCZĄCYCH CIĄGÓW I FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 5 1. ERBST ZBIORU

Zagadamy, że pojęcie zbioru, należenia do zbioru oraz podstawowe działania na zbiorach i ich własności oą Czytelnikowi znane.

Biech I będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, tzn. ICH.

Definicja 1.1. Kówlmy, że zbiór ICH Jest zbiórce ograniczonym z góry, Joteli istnieje liczba rzeczywista L taka, że wszystkie elementy zbioru I są nie większe od liczby L, co można zapisać:

ICH Jest ograniczony z góry <=> CR: V^x € I    i $ I.

Analogicznie

Ic R Je3t ograniczony z dołu¹ € R: Vx G I    i ^ 1.

Definicja 1.2. Hówlmy, że zbiór Jeot ograniczony, Jeżeli Jest ograniczony z góry i z dołu, tzn.:

ICH Jest ograniczony <    >31,1. e R:    Vxe I l-ęxiiL.

Uwaga: Liczbę 1 nazywa się liczbą ograniczającą zbiór I z aołu, L-liczbą ogrnr.iczajaca zbiór I z góry.

Twierdzenie 1.1. ¥arunklem koniecznym i wystarczającym na to, aby zbiór I c R był ograniczony Jest, by istniała liczba nieujemna K taka, te dla każdego x € I Spełniona Jest nierówność

l^xl :$ M .

Dowód

1. Warunek konieczny

Jeżeli zbiór I Jest ograniczony, to istnieje liczba K^iO taka, że dla każdego x el zachodzi nierówność ]x| * M. Istotnie, z definicji 1.2 wynika istnienie liczb rzeczywistych 1 i 1 takich, że dla