0522

UZUPEŁNIENIE

ZAGADNIENIE PRZEDŁUŻANIA FUNKCJI

257. Przypadek funkcji jednej zmiennej. Rozpatrzmy funkcję f(x) określoną w pewnym skończonym albo nieskończonym przedziale X, lub mówiąc ogólniej: w obszarze X, składającym się ze skończonej liczby rozłącznych takich przedziałów. Jeżeli funkcja f{x) jest ciągła w X i ma w tym obszarze ciągłe pochodne aż do rzędu n włącznie (n^ 1), to będziemy mówili, że funkcja ta jest klasy X" w obszarze X.

Przy tym, jeżeli koniec któregokolwiek z przedziałów jest zaliczony do tego przedziału, to przez pochodne w takim punkcie rozumiemy pochodne jednostronne (')•

Niech funkcja/(jt) będzie klasy ^<Sf (n= 1, 2, ...) w obszarze X nie zawierającym całej osi liczbowej. Załóżmy, że \V pewnym obszarze X¹ zachodzącym na X określona jest funkcja f¹ także klasy Xⁿ, która we wspólnej części obszarów X i X¹ pokrywa się z/(x). Mówimy, że funkcja f¹(x) jest przedłużeniem funkcji f{x) na obszar X¹ z zachowaniem klasy.

Nasuwa się pytanie: czy zawsze można przedłużyć funkcję na większy obszar? Odpowiedź na to pytanie daje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Dowolną funkcję f (x) klasy X" (n = l, 2, ...) w obszarze domkniętym (²) X można przedłużyć na całą oś liczbową X¹=( — co, + oo) z zachowaniem klasy.

Pokażemy, że przedłużenie takie można skonstruować za pomocą wielomianów. W tym celu zrobimy najpierw następujące uwagi.

W ustępie 123 widzieliśmy, że wielomian stopnia n:

(1)    p(x) = c„ + ^j(x —a) + ~|(x-a)² + ...+—(x —a)^B

i jego kolejne pochodne przybierają w punkcie x=a. odpowiednio wartości c₀, c,, c₂,..., c„.

Przypuśćmy teraz, że trzeba zbudować taki wielomian, który w punkcie x = ot spełnia te same warunki co wielomian p(x) i przy tym w drugim punkcie x=fł przybiera wraz

1

Czyli wartości graniczne pochodnych otrzymywane przy zbliżaniu się do końca przedziału od strony wewnętrznej. Przy naszych założeniach znaczy to bowiem to samo.

(²) To znaczy składającym się ze skończonej liczby przedziałów domkniętych postaci <a, ft>, <a, +oc), ( — oo, i>.