zdjecie0032

34

Ciąg ten jest uogólnieniem ciągu rozważanego w punkcie 5 i dowodzi się. Ze

of_n

lin (1 ■*■ -—)    - e .

n-*co

Przy obliczaniu granic ciągów liczbowych często korzysta 3ię _s aa_ stępującego twierdzenia, które podany bez dowodu.

Twierdzenie 1.12. Miech    i    będą ciągani liczbowymi, gdzie

a > 0 Yn< X.

^R    "n

1. Jeżeli lim a^ = a>0, lin bj, = b£ H, to lira (a_n) = a^b

n —»co    n-»co    n-*co

2.	Jeżeli lim sn		0, lin bn =	+ 00,	to lim
	n-*Ce>		n-»CO		n-*co
3.	Jeżeli lim	=	0, lic bQ =	-05,	to lim
	r.-*cx>		n-»co		n-*co
4.	Jeżeli lim o..	S	o, lim bn -	♦ w.	to lun
	n-»co‘		n-*co		n-»<x>
5.	Jeżeli lim	=	a, lim b = n	-ce,	to lim
	a-* co		n-*co		n-*oo
6.	Jeżeli lim u_	=	+ 00, lin b	= t>.	to lim
	n->co		n-*-co		tl—*-co
7.	Jeżeli lim	W	*<jj, lim bn	* +co, to lii
	r.‘ vCO		n-*co		n —>

^bn f ♦ ⁰³ fsdy a > 1 * ^an^ ' (0 gdy O <n < 1 ' ^bn (O gdy a >1 ^ l+co gdy 0< a<1

b_Q j+cogdy b>0

to gdy b<0

Uwaj-fe. 2wierdzenie 1.12 nie obejmuje następujących symboli: 0°,

CD    0

»• t cd t zwanych symbol ani nie oznaczony ni.