Zdjęcia 0171

U^ęt

ZADANIA

(c) Sumę i różnicę wektorów afbia b.

Odp. a + b * 2x + 6y + z.

(f) Iloczyn wektorowy axb. ,

Odp. 34x-13y+10z.

6.    Algebra wektorów. Dane są dwa wektory takie, że a t b « llx-y + 5x i a-b 5x My

(a)    Znaleźć a i b.

(b)    Znaleźć kąt zawarty między a i (a+b), stosując metodę wektorową

7.    Składanie prędkości. Pilot samolotu chce osiągnąć punkt 200 km na wschód od obecnego położeniu. Wiatr wieje z prędkosoią 30 km/h z północnego zachodu. Obliczyć wektor jego prędkości w stosunku do poruszającej się masy powietrza, jeżeli według rozkładu jazdy miał przybyć do miejsca przeznaczenia po 40 min.

Odp. v =* 279x + 21y km/h, i ma kierunek na wschód, y ma kierunek na połnoc.

8.    Zmiana kierunku osi współrzędnych. Można zmienić prawoskrętny układ współrzędnych jednostko wych na układ lewoskrętny przez pomnożenie wszystkich trzech wektorów jednostkowych przez jeden skalar. Jaka to jest liczba?

9.    Działania na wektorach; wektor położenia względnego. Dwie cząstki zostały wysłane z jednego wspólnego źródła i po pewnym czasie przemieszczenia ich wynoszą:

r, = 4x + 3y f*8z, r, - 2x + 10y-*-5z.

(a)    Narysować położenia cząstek i napisać wyrażenie na przemieszczenie r cząstki 2 względem 1.

(b)    Do znalezienia wartoici każdego wektora zastosować iloczyn skalarny.

Odp. r_x ■* 9,4,    r*- 11,3. r « 7,9.

(c)    Obliczyć kąty między wszystkimi możliwymi parami tych trzech wektorów.

(d)    Obliczyć rzut r na r,.

Odp. —1,2.

(c) Obliczyć iloczyn wektorowy r_txr_;.

Odp. -65x-4y+34z.

10.    Największe zbliżenie dwóch cząstek. Dwie cząstki 1 » 2 poruszają się uzdluz osi x i y z prędkościami v, — 2* cra/s i v₂ =■ 3y cmV W chwili t •* 0 są one w punktach o współrzędnych

*i «* —3 cm. >*i =0; x₂ « 0,    y_: — —3 cm.

(a)    Znaleźć wektor r*—Tj. który określi położenie cząstki 2 względem l w funkcji czasu.

Odp. r ■■ (3 — 2r)i+(3/ —3)y cm.

(b)    Kiedy i gdzie obie te cząstki będą najbliżej siebie?

Odp. t » 1.15 s.

11.    Przekątne wewnętrzne sześcianu. Jaki jest kąt miedzy dwiema przekątnymi wewnętrznymi sześcianu. (Przekątna wewnętrzna sześcianu łączy dwa wierzchołki i przechodzi przez środek sześcianu. Prze-h.ątna powierzchniowa łączy dwa wierzchołki i leży na jednej ze ścian sześcianu.)

12.    Warunek aby a » b. Wykazać, że a jest prostopadłe do b. jeżeli a -b = ja -b

13.    Powierzchnia czworościanu. Rozważyć czworościan o wierzchołkach O, A. R, C leżących odpowiednio w początku i na osiach y, z. (Położenie wektora A jest dane przez a = ai, itd.) Napisać wyrażenie na całkowite pole powierzchni, które będzie sumą odpowiednich pól powierzchni trójkąta.

14.    Objętość równoległość ianu. Krawędzie równolcgłościanu opisane są przez wektory i ~2y; 4y; y+3z od początku układu. Znaleźć objętość.

Odp. 12.

15.    Równowaga sił. Trzy siły F_u F_: i F, działają równocześnie na cząstkę o wymiarach punktowych. Siła wypadkowa F_w jest po prostu sumą wektorową sit. Cząstka jest w równowadze, jeżeli F_u. 0.

(a)    Wykazać, że jeżeli F_w » 0. to wektory przedstawiające trzy siły tworzą trójkąt.

(b)    Jeżeli, jak powyżej, F* ■■ 0, to czy jest możliwe, aby jeden z wektorów nic leżał w płaszczyźnie wyznaczonej przez dwa inne wektory'?

(c)    Cząstka poddana.działaniu skierowanej pionowa w dół siły 10 niutonów i zawieszona na sznurze