02 01 11
 kolokwium3

WMS 1, gr 2

Kraków, 30 maja 2006 r.

Praca pisemna 3, wersja B

1. Funkcję f(x) = x(7r — x) rozwiń w szereg Fouriera sinusów w przedziale [0,?r]. Korzystając z otrzymanego rozwinięcia, oblicz sumę szeregu liczbowego

E

71=1

(~l)ⁿ⁺¹

(2n- l)^{1 2}'

2. Odwzorowanie / : R² —> R określone jest wzorem:

I % +    dla (*,t/)^(0,0)

\    0,    dla (x,y) = ( 0,0).

a)    Zbadaj różniczkowalność odwzorowania /,

b)    sprawdź, czy istnieje pochodna kierunkowa |£(0,0) w dowolnym kierunku w € R².

1

   Wykaż, że płaszczyzna styczna do powierzchni o równaniu xyz = a¹ (a € R+) w dowolnym jej punkcie (x, t/, z) £ R¹ tworzy z płaszczyznami współrzędnych czworościan o stałej objętości. Wyznacz tę objętość.

2

   Wyznacz ekstrema lokalne odwzorowania

[7r 7T1 2

”~2’ 2J ^{9    f} /(^,2/) ^:= cos* -f- cos2/ + cos(* + j/) € R.