037(1)

6) (sin x)' =cos x 8) (tg x)’ = sec² x =

COS² X

5) (.V¹*)' =-- nxⁿ~

7) (cos *)' = — sin x

9) (ctg x)' — —cosec²r    —,

sin a

We wzorach tych, jak również w dalszym ciągu, nr?.'-' en y następujące oznaczenia: c —stała, x — zmienna niezależna, - funkcje a.

129. Korzystając z wzorów na różniczkowanie, v, następujących funkcji:

l)y=x?-5x+4    2) y = j/x -f-~=---4

\ x x

mchcdne

3) z = x⁵[2 5) <p(t) =

{²~r+*j

4) f(x) =

10

6) R(«)■=

A²-)- 1

cos a ctg a

asinr—bcost    "'^v~' l-f-2tgc

Rozwiązanie: 1) Na podstawie wzoru 2, mamy

/ = (*²-5a+4)' = (a²)' —(5a/ + (4)' i na podstawie wzorów 5, 3a i 1

y = 2a—5 - 1+0 = 2a-5

2) Wprowadzając wykładniki ujemne i ułamkowe, daną funkcję możemy zapisać następująco

I

y = a²-|-5a ³ — x~²+

Stosując teraz wzory 2, 5 i 3a, otrzymujemy

3)a-⁴ =

₌    ___5__, 2__I

2| a 3j/V '    *⁴~

3) Pierwszy sposób. Korzystając z wzoru 3, otrzymamy z' = (x⁵Y {l- y +3.x²| +A⁵12- y +3.v²j' =

= 5^2-y +3A-²J+A⁵|-y-f-6xJ = 10a⁴-2a⁵+21a⁶

Drugi sposób. Najpierw wykonujemy mnożenie (pozbywamy się nawiasów), a później różniczkujemy otrzymaną sumę

= 2.r⁵-|x‘+3r⁷, z' = 10*⁴-2.v⁵+21jc⁶

Jest to sposób dogodniejszy, gdyż szybciej prowadzi do wyniku.

Należy pamiętać, że na ogól nie trzeba od razu różniczkować danej postaci funkcji. Niekiedy lepiej jest przekształcić uprzednio funkcję tożsamoćciowo (naturalnie, jeśli jest to celowe, tzn. jeśli przez to upraszcza się różniczkowanie).

4) Korzystając z wzoru 4, otrzymamy

_ I ** V _ (*^z)'(*²+!)-(**+!y*² _

(^+D^z

2x(x²+1)— 2x ■ x?    2x

(l?+i)²    “ (^+1)²

10 V _    10 (a sin f—ócos t)^r

^ ' \a sin t — b cos tj    (a sin t—b cos t)²

10 (a cos t+b sini)

(a sin t- b cos tf

W przykładzie tym zastosowaliśmy wzór 4b (stały licznik), a nie wzór 4

6) Korzystając z wzoru 4a (stały mianownik), otrzymamy

dR _ (cos a ctg a)' _ — sin a ctg a+cos a (—cosec² a) da

1+2 tg c

l+2tg c cos a (1 +cosec² a)

l+2tg c

130. Wyznaczyć pochodną danej funkcji, a następnie obliczyć jej wartość szczególną dla podanej wartości argumentu:

1) F(x) =

u+ó

3) y ■

= ^    ^{] X)2} ; x = 0,01

x

„    COS t    71

2) z = --.—; t = —

¹ l-sm(    6

, 5JC⁴—1

+ , _Ł ; x = o

3—2x    a—ó

Rozwiązanie: 1) Najpierw przekształcamy daną funkcję

_ i

---4r+l =jr^I—2x

F(x) = 1 —2|/jc+jc ₌ J---4r+l =jr^,-2x ²+l

\fx

X