043(1)

Rozwiązanie: 1) Stosując kolejno wzory 2, 4, 7, 5, 6, 11 : 14, otrzj mamy

/ = -

(cos x)' sin² x—cos ;t(sin² x)’

tg^:

sin^3 x~\~2 sin x cos^2 x	2 ^Xsec^2-
sin^4 x	‘ 2tgy
sin^2*-f 2 cos^2*	1

• X    X

2 sin ₂ cos y

1 +cos²x

sin*

(sin x I

2) Posługując się wzorami 12 i 7, znajdujemy , (cos x)'    _ sin x

f/l— cos²,x v sin² x

Sens tego wyniku jest następujący: w punktach, w których sin .t > 0, y' — — 1, W' punktach, w których sin x < 0, y' — 1, zaś w punktach, w których sin* = 0, tzn. dla .v = lcn(k = 0, ±1, ±2,...) funkcja jest nieróżniczkowalna (rys. 34).

3) Pisząc zamiast pierwiastka potęgę o wykładniku ułamkowym i stosując wzory 2, 3, 5, 13 i 4, otrzymamy

r' — (y²)'arccos — -j\-<p² |arc cos “ j — 2[(y>²—4)²]

- 2<p arc cos tt y²

_2_

V¹

V¹-?

-2 • _t(<?>²-4)' ² • 2₉ =

2

r' = 2(p arc cos • -;    /■'(2) = 4 arc cos 1 = 0

Dla cp < 0

r' — 2 [cp arc cos ---\ ;    '‘'(—2) = -f go

\    ^cp y<p²-41

4)* W przykładzie tym należy rozróżnić trzy przypadki: a) Dla 1 — x² > 0, czyli w przedziale — 1 < x < 1

b) Dla 1— X¹ < 0, tj. w przedziałach —co < x < — 1 i 1 < X < +oo;

/ = -(l-s²)' = 2.v;    y(—2) — —4

c) Dla 1—.V² = 0, czyli w punktach x = ±1, dana funkcja ciągła nic jest różniczkowałna; w punktach tych pochodna y' nie istnieje, ale istnieją dwie różne (co do znaku) pochodne lewo- i prawostronna:    = —2

W odpowiednich punktach wykresu funkcji (rys. 35) mamy po dwie różne styczne jednostronne o współczynnikach kątowych k_y = —2 i k₂ — 2 (punkty kątowe).

5)* Daną funkcję rozpatrujemy:

a) W przedziałach, w których sinx > 0; wtedy

y' — (2 sin x -j-sin x)' = 3 cos x

oraz

b) W przedziałach, w których sinx < 0; wtedy

y' = (2 sin x—sin x)' = cos x

oraz

89